Тригонометрия Примеры

$4 y^{2} - x^{2} - 24 y - 4 x + 16 = 0$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения гиперболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$4 y^{2} - x^{2} - 24 y - 4 x = - 16$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $4 y^{2} - 24 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 4$

$b = - 24$

$c = 0$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 24}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 24$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 24$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 (4)}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 12}{4}$

Этап 1.2.3.2.2

Сократим общий множитель $- 12$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 12$ .

$d = \frac{4 \cdot - 3}{4}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 3}{4 (1)}$

Этап 1.2.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 3}{1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.4

Разделим $- 3$ на $1$ .

$d = - 3$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 24)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $- 24$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot 4}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $4$ .

$e = 0 - \frac{576}{16}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $576$ на $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Этап 1.2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $36$ .

$e = 0 - 36$

Этап 1.2.4.2.2

Вычтем $36$ из $0$ .

$e = - 36$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $4 {(y - 3)}^{2} - 36$ .

$4 {(y - 3)}^{2} - 36$

Этап 1.3

Подставим $4 {(y - 3)}^{2} - 36$ вместо $4 y^{2} - 24 y$ в уравнение $4 y^{2} - x^{2} - 24 y - 4 x = - 16$ .

$4 {(y - 3)}^{2} - 36 - x^{2} - 4 x = - 16$

Этап 1.4

Перенесем $- 36$ в правую часть уравнения, прибавив $36$ к обеим частям.

$4 {(y - 3)}^{2} - x^{2} - 4 x = - 16 + 36$

Этап 1.5

Составим полный квадрат для $- x^{2} - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 1$

$b = - 4$

$c = 0$

Этап 1.5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.5.3.2.1.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{- 2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 2$

Этап 1.5.3.2.2

Перепишем $- 1 \cdot - 2$ в виде $- - 2$ .

$d = - - 2$

Этап 1.5.3.2.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$d = 2$

Этап 1.5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Этап 1.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Сократим общий множитель ${(- 4)}^{2}$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1.1

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Этап 1.5.4.2.1.1.2

Применим правило умножения к $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Этап 1.5.4.2.1.1.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Этап 1.5.4.2.1.1.4

Умножим $4^{2}$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Этап 1.5.4.2.1.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Этап 1.5.4.2.1.1.6

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{4}{- 1}$ .

$e = 0 - (- 1 \cdot 4)$

Этап 1.5.4.2.1.2

Умножим $- (- 1 \cdot 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = 0 - - 4$

Этап 1.5.4.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$e = 0 + 4$

Этап 1.5.4.2.2

Добавим $0$ и $4$ .

$e = 4$

Этап 1.5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- {(x + 2)}^{2} + 4$ .

$- {(x + 2)}^{2} + 4$

Этап 1.6

Подставим $- {(x + 2)}^{2} + 4$ вместо $- x^{2} - 4 x$ в уравнение $4 y^{2} - x^{2} - 24 y - 4 x = - 16$ .

$4 {(y - 3)}^{2} - {(x + 2)}^{2} + 4 = - 16 + 36$

Этап 1.7

Перенесем $4$ в правую часть уравнения, прибавив $4$ к обеим частям.

$4 {(y - 3)}^{2} - {(x + 2)}^{2} = - 16 + 36 - 4$

Этап 1.8

Упростим $- 16 + 36 - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Добавим $- 16$ и $36$ .

$4 {(y - 3)}^{2} - {(x + 2)}^{2} = 20 - 4$

Этап 1.8.2

Вычтем $4$ из $20$ .

$4 {(y - 3)}^{2} - {(x + 2)}^{2} = 16$

Этап 1.9

Разделим каждый член на $16$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{4 {(y - 3)}^{2}}{16} - \frac{{(x + 2)}^{2}}{16} = \frac{16}{16}$

Этап 1.10

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{4} - \frac{{(x + 2)}^{2}}{16} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = 2$

$b = 4$

$k = 3$

$h = - 2$

Этап 4

Центр гиперболы имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(- 2, 3)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(4)}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{4 + {(4)}^{2}}$

Этап 5.3.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\sqrt{4 + 16}$

Этап 5.3.3

Добавим $4$ и $16$ .

$\sqrt{20}$

Этап 5.3.4

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$\sqrt{4 (5)}$

Этап 5.3.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 5}$

Этап 5.3.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$2 \sqrt{5}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину гиперболы можно найти, добавив $a$ к $k$ .

$(h, k + a)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 2, 5)$

Этап 6.3

Вторую вершину гиперболы можно найти, вычтя $a$ из $k$ .

$(h, k - a)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 2, 1)$

Этап 6.5

Вершины гиперболы имеют вид $(h, k \pm a)$ . Гиперболы имеют две вершины.

$(- 2, 5), (- 2, 1)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив $c$ к $k$ .

$(h, k + c)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 2, 3 + 2 \sqrt{5})$

Этап 7.3

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя $c$ из $k$ .

$(h, k - c)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 2, 3 - 2 \sqrt{5})$

Этап 7.5

Фокусы гиперболы имеют вид $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(- 2, 3 + 2 \sqrt{5}), (- 2, 3 - 2 \sqrt{5})$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(4)}^{2}}}{2}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4^{2}}}{2}$

Этап 8.3.1.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 16}}{2}$

Этап 8.3.1.3

Добавим $4$ и $16$ .

$\frac{\sqrt{20}}{2}$

Этап 8.3.1.4

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$\frac{\sqrt{4 (5)}}{2}$

Этап 8.3.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2}$

Этап 8.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{2 \sqrt{5}}{2}$

Этап 8.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{5}}{2}$

Этап 8.3.2.2

Разделим $\sqrt{5}$ на $1$ .

$\sqrt{5}$

Этап 9

Найдем фокальный параметр.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение фокального параметра гиперболы по следующей формуле.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Этап 9.2

Подставим значения $b$ и $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ в формулу.

$\frac{4^{2}}{2 \sqrt{5}}$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{16}{2 \sqrt{5}}$

Этап 9.3.2

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 \sqrt{5}}$

Этап 9.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 (\sqrt{5})}$

Этап 9.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \sqrt{5}}$

Этап 9.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{8}{\sqrt{5}}$

Этап 9.3.3

Умножим $\frac{8}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{8}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Этап 9.3.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.4.1

Умножим $\frac{8}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 9.3.4.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Этап 9.3.4.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Этап 9.3.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{8 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Этап 9.3.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 9.3.4.6

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.3.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 9.3.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{8 \sqrt{5}}{5^{1}}$

Этап 9.3.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{8 \sqrt{5}}{5}$

Этап 10

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , так как ветви этой гиперболы направлены вверх и вниз.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot (x - (- 2)) + 3$

Этап 11

Упростим, чтобы найти первую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{1}{2} \cdot (x - (- 2)) + 3$

Этап 11.2

Упростим $\frac{1}{2} \cdot (x - (- 2)) + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (x + 2) + 3$

Этап 11.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot 2 + 3$

Этап 11.2.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot 2 + 3$

Этап 11.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot 2 + 3$

Этап 11.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x}{2} + 1 + 3$

Этап 11.2.2

Добавим $1$ и $3$ .

$y = \frac{x}{2} + 4$

Этап 12

Упростим, чтобы найти вторую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{1}{2} \cdot (x - (- 2)) + 3$

Этап 12.2

Упростим $- \frac{1}{2} \cdot (x - (- 2)) + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$y = - \frac{1}{2} \cdot (x + 2) + 3$

Этап 12.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot 2 + 3$

Этап 12.2.1.3

Объединим $x$ и $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2 + 3$

Этап 12.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot 2 + 3$

Этап 12.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot 2 + 3$

Этап 12.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{x}{2} - 1 + 3$

Этап 12.2.2

Добавим $- 1$ и $3$ .

$y = - \frac{x}{2} + 2$

Этап 13

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = \frac{x}{2} + 4, y = - \frac{x}{2} + 2$

Этап 14

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа гиперболы.

Центр: $(- 2, 3)$

Вершины: $(- 2, 5), (- 2, 1)$

Фокусы: $(- 2, 3 + 2 \sqrt{5}), (- 2, 3 - 2 \sqrt{5})$

Эксцентриситет: $\sqrt{5}$

Фокальный параметр: $\frac{8 \sqrt{5}}{5}$

Асимптоты: $y = \frac{x}{2} + 4$ , $y = - \frac{x}{2} + 2$

Этап 15