Тригонометрия Примеры

$2 \sin (\frac{3 x}{2} - π)$

Этап 1

Применим форму $a \sin (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = 2$

$b = \frac{3}{2}$

$c = π$

$d = 0$

Этап 2

Найдем амплитуду $| a |$ .

Амплитуда: $2$

Этап 3

Найдем период $2 \sin (\frac{3 x}{2} - π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2

Заменим $b$ на $\frac{3}{2}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{3}{2} |}$

Этап 3.3

$\frac{3}{2}$ приблизительно равно $1.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{3}{2}}$

Этап 3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \frac{2}{3}$

Этап 3.5

Умножим $2 π \frac{2}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} π$

Этап 3.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4}{3} π$

Этап 3.5.3

Объединим $\frac{4}{3}$ и $π$ .

$\frac{4 π}{3}$

Этап 4

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 4.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{π}{\frac{3}{2}}$

Этап 4.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

Сдвиг фазы: $π (\frac{2}{3})$

Этап 4.4

Объединим $π$ и $\frac{2}{3}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{π \cdot 2}{3}$

Этап 4.5

Перенесем $2$ влево от $π$ .

Сдвиг фазы: $\frac{2 π}{3}$

Этап 5

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: $2$

Период: $\frac{4 π}{3}$

Сдвиг фазы: $\frac{2 π}{3}$ ( $\frac{2 π}{3}$ вправо)

Смещение по вертикали: нет

Этап 6

Выберем несколько точек для построения графика.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем точку в $x = \frac{2 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \sin (\frac{3 (\frac{2 π}{3})}{2} - π)$

Этап 6.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1

Объединим $3$ и $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \sin (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2} - π)$

Этап 6.1.2.1.2

Умножим $3$ на $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \sin (\frac{\frac{6 π}{3}}{2} - π)$

Этап 6.1.2.1.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.3.1

Сократим выражение $\frac{6 π}{3}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $6 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \sin (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2} - π)$

Этап 6.1.2.1.3.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \sin (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 (1)}}{2} - π)$

Этап 6.1.2.1.3.1.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \sin (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1}}{2} - π)$

Этап 6.1.2.1.3.1.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \sin (\frac{\frac{2 π}{1}}{2} - π)$

Этап 6.1.2.1.3.2

Разделим $2 π$ на $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \sin (\frac{2 π}{2} - π)$

Этап 6.1.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \sin (\frac{2 π}{2} - π)$

Этап 6.1.2.1.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \sin (π - π)$

Этап 6.1.2.2

Вычтем $π$ из $π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \sin (0)$

Этап 6.1.2.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \cdot 0$

Этап 6.1.2.4

Умножим $2$ на $0$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 0$

Этап 6.1.2.5

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 6.2

Найдем точку в $x = π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $π$ .

$f (π) = 2 \sin (\frac{3 (π)}{2} - π)$

Этап 6.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Чтобы записать $- π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (π) = 2 \sin (\frac{3 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2})$

Этап 6.2.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Объединим $- π$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (π) = 2 \sin (\frac{3 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2})$

Этап 6.2.2.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (π) = 2 \sin (\frac{3 π - π \cdot 2}{2})$

Этап 6.2.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (π) = 2 \sin (\frac{3 π - 2 π}{2})$

Этап 6.2.2.3.2

Вычтем $2 π$ из $3 π$ .

$f (π) = 2 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 6.2.2.4

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (π) = 2 \cdot 1$

Этап 6.2.2.5

Умножим $2$ на $1$ .

$f (π) = 2$

Этап 6.2.2.6

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 6.3

Найдем точку в $x = \frac{4 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{4 π}{3}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \sin (\frac{3 (\frac{4 π}{3})}{2} - π)$

Этап 6.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Объединим $3$ и $\frac{4 π}{3}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \sin (\frac{\frac{3 (4 π)}{3}}{2} - π)$

Этап 6.3.2.1.2

Умножим $3$ на $4$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \sin (\frac{\frac{12 π}{3}}{2} - π)$

Этап 6.3.2.1.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.3.1

Сократим выражение $\frac{12 π}{3}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $12 π$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \sin (\frac{\frac{3 (4 π)}{3}}{2} - π)$

Этап 6.3.2.1.3.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \sin (\frac{\frac{3 (4 π)}{3 (1)}}{2} - π)$

Этап 6.3.2.1.3.1.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \sin (\frac{\frac{3 (4 π)}{3 \cdot 1}}{2} - π)$

Этап 6.3.2.1.3.1.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \sin (\frac{\frac{4 π}{1}}{2} - π)$

Этап 6.3.2.1.3.2

Разделим $4 π$ на $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \sin (\frac{4 π}{2} - π)$

Этап 6.3.2.1.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4 π$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \sin (\frac{2 (2 π)}{2} - π)$

Этап 6.3.2.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \sin (\frac{2 (2 π)}{2 (1)} - π)$

Этап 6.3.2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \sin (\frac{2 (2 π)}{2 \cdot 1} - π)$

Этап 6.3.2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \sin (\frac{2 π}{1} - π)$

Этап 6.3.2.1.4.2.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \sin (2 π - π)$

Этап 6.3.2.2

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \sin (π)$

Этап 6.3.2.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \sin (0)$

Этап 6.3.2.4

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \cdot 0$

Этап 6.3.2.5

Умножим $2$ на $0$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 0$

Этап 6.3.2.6

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 6.4

Найдем точку в $x = \frac{5 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{5 π}{3}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = 2 \sin (\frac{3 (\frac{5 π}{3})}{2} - π)$

Этап 6.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Объединим $3$ и $\frac{5 π}{3}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = 2 \sin (\frac{\frac{3 (5 π)}{3}}{2} - π)$

Этап 6.4.2.1.2

Умножим $3$ на $5$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = 2 \sin (\frac{\frac{15 π}{3}}{2} - π)$

Этап 6.4.2.1.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.3.1

Сократим выражение $\frac{15 π}{3}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $15 π$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = 2 \sin (\frac{\frac{3 (5 π)}{3}}{2} - π)$

Этап 6.4.2.1.3.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = 2 \sin (\frac{\frac{3 (5 π)}{3 (1)}}{2} - π)$

Этап 6.4.2.1.3.1.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 π}{3}) = 2 \sin (\frac{\frac{3 (5 π)}{3 \cdot 1}}{2} - π)$

Этап 6.4.2.1.3.1.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 π}{3}) = 2 \sin (\frac{\frac{5 π}{1}}{2} - π)$

Этап 6.4.2.1.3.2

Разделим $5 π$ на $1$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = 2 \sin (\frac{5 π}{2} - π)$

Этап 6.4.2.2

Чтобы записать $- π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = 2 \sin (\frac{5 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2})$

Этап 6.4.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.3.1

Объединим $- π$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = 2 \sin (\frac{5 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2})$

Этап 6.4.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{5 π}{3}) = 2 \sin (\frac{5 π - π \cdot 2}{2})$

Этап 6.4.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = 2 \sin (\frac{5 π - 2 π}{2})$

Этап 6.4.2.4.2

Вычтем $2 π$ из $5 π$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 6.4.2.5

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$f (\frac{5 π}{3}) = 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 6.4.2.6

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = 2 (- 1 \cdot 1)$

Этап 6.4.2.7

Умножим $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.7.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = 2 \cdot - 1$

Этап 6.4.2.7.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = - 2$

Этап 6.4.2.8

Окончательный ответ: $- 2$ .

$- 2$

Этап 6.5

Найдем точку в $x = 2 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2 π$ .

$f (2 π) = 2 \sin (\frac{3 (2 π)}{2} - π)$

Этап 6.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f (2 π) = 2 \sin (\frac{3 (2 π)}{2} - π)$

Этап 6.5.2.1.2

Разделим $3 (π)$ на $1$ .

$f (2 π) = 2 \sin (3 (π) - π)$

$f (2 π) = 2 \sin (3 π - π)$

Этап 6.5.2.2

Вычтем $π$ из $3 π$ .

$f (2 π) = 2 \sin (2 π)$

Этап 6.5.2.3

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (2 π) = 2 \sin (0)$

Этап 6.5.2.4

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f (2 π) = 2 \cdot 0$

Этап 6.5.2.5

Умножим $2$ на $0$ .

$f (2 π) = 0$

Этап 6.5.2.6

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 6.6

Перечислим точки в таблице.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{2 π}{3} & 0 \\ π & 2 \\ \frac{4 π}{3} & 0 \\ \frac{5 π}{3} & - 2 \\ 2 π & 0 \end{array}$

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Амплитуда: $2$

Период: $\frac{4 π}{3}$

Сдвиг фазы: $\frac{2 π}{3}$ ( $\frac{2 π}{3}$ вправо)

Смещение по вертикали: нет

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{2 π}{3} & 0 \\ π & 2 \\ \frac{4 π}{3} & 0 \\ \frac{5 π}{3} & - 2 \\ 2 π & 0 \end{array}$

Этап 8