Тригонометрия Примеры

$x^{2} + 25 y^{2} - 400 y + 1575 = 0$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения эллипса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $1575$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 25 y^{2} - 400 y = - 1575$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $25 y^{2} - 400 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 25$

$b = - 400$

$c = 0$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 400}{2 \cdot 25}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 400$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 400$ .

$d = \frac{2 \cdot - 200}{2 \cdot 25}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 25$ .

$d = \frac{2 \cdot - 200}{2 (25)}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 200}{2 \cdot 25}$

Этап 1.2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 200}{25}$

Этап 1.2.3.2.2

Сократим общий множитель $- 200$ и $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $25$ из $- 200$ .

$d = \frac{25 \cdot - 8}{25}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $25$ из $25$ .

$d = \frac{25 \cdot - 8}{25 (1)}$

Этап 1.2.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{25 \cdot - 8}{25 \cdot 1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 8}{1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.4

Разделим $- 8$ на $1$ .

$d = - 8$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 400)}^{2}}{4 \cdot 25}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $- 400$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{160000}{4 \cdot 25}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $25$ .

$e = 0 - \frac{160000}{100}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $160000$ на $100$ .

$e = 0 - 1 \cdot 1600$

Этап 1.2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1600$ .

$e = 0 - 1600$

Этап 1.2.4.2.2

Вычтем $1600$ из $0$ .

$e = - 1600$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $25 {(y - 8)}^{2} - 1600$ .

$25 {(y - 8)}^{2} - 1600$

Этап 1.3

Подставим $25 {(y - 8)}^{2} - 1600$ вместо $25 y^{2} - 400 y$ в уравнение $x^{2} + 25 y^{2} - 400 y = - 1575$ .

$x^{2} + 25 {(y - 8)}^{2} - 1600 = - 1575$

Этап 1.4

Перенесем $- 1600$ в правую часть уравнения, прибавив $1600$ к обеим частям.

$x^{2} + 25 {(y - 8)}^{2} = - 1575 + 1600$

Этап 1.5

Добавим $- 1575$ и $1600$ .

$x^{2} + 25 {(y - 8)}^{2} = 25$

Этап 1.6

Разделим каждый член на $25$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{x^{2}}{25} + \frac{25 {(y - 8)}^{2}}{25} = \frac{25}{25}$

Этап 1.7

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{x^{2}}{25} + {(y - 8)}^{2} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = 5$

$b = 1$

$k = 8$

$h = 0$

Этап 4

Центр эллипса имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(0, 8)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса эллипса, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(5)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\sqrt{25 - {(1)}^{2}}$

Этап 5.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{25 - 1 \cdot 1}$

Этап 5.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\sqrt{25 - 1}$

Этап 5.3.4

Вычтем $1$ из $25$ .

$\sqrt{24}$

Этап 5.3.5

Перепишем $24$ в виде $2^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$\sqrt{4 (6)}$

Этап 5.3.5.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 6}$

Этап 5.3.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$2 \sqrt{6}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину эллипса можно найти, добавив $a$ к $h$ .

$(h + a, k)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(0 + 5, 8)$

Этап 6.3

Упростим.

$(5, 8)$

Этап 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Этап 6.5

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(0 - (5), 8)$

Этап 6.6

Упростим.

$(- 5, 8)$

Этап 6.7

Эллипсы имеют две вершины.

${Vertex}_{1}$ : $(5, 8)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 8)$

${Vertex}_{1}$ : $(5, 8)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 8)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус эллипса можно найти, добавив $c$ к $h$ .

$(h + c, k)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(0 + 2 \sqrt{6}, 8)$

Этап 7.3

Упростим.

$(2 \sqrt{6}, 8)$

Этап 7.4

Второй фокус эллипса можно найти, вычтя $c$ из $h$ .

$(h - c, k)$

Этап 7.5

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(0 - (2 \sqrt{6}), 8)$

Этап 7.6

Упростим.

$(- 2 \sqrt{6}, 8)$

Этап 7.7

Эллипсы имеют два фокуса.

${Focus}_{1}$ : $(2 \sqrt{6}, 8)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{6}, 8)$

${Focus}_{1}$ : $(2 \sqrt{6}, 8)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{6}, 8)$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} - {(1)}^{2}}}{5}$

Этап 8.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - 1^{2}}}{5}$

Этап 8.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{\sqrt{25 - 1 \cdot 1}}{5}$

Этап 8.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{25 - 1}}{5}$

Этап 8.3.4

Вычтем $1$ из $25$ .

$\frac{\sqrt{24}}{5}$

Этап 8.3.5

Перепишем $24$ в виде $2^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.5.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$\frac{\sqrt{4 (6)}}{5}$

Этап 8.3.5.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 6}}{5}$

Этап 8.3.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{2 \sqrt{6}}{5}$

Этап 9

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа эллипса.

Центр: $(0, 8)$

${Vertex}_{1}$ : $(5, 8)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 8)$

${Focus}_{1}$ : $(2 \sqrt{6}, 8)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{6}, 8)$

Эксцентриситет: $\frac{2 \sqrt{6}}{5}$

Этап 10