Тригонометрия Примеры

$\log_{4} (x - 1) + 2$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем, где выражение $\log_{4} (x - 1) + 2$ не определено.

$x \leq 1$

Этап 1.2

Поскольку $\log_{4} (x - 1) + 2$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $1$ слева, а $\log_{4} (x - 1) + 2$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $1$ справа, то $x = 1$ — вертикальная асимптота.

$x = 1$

Этап 1.3

Игнорируя логарифм, рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 1.4

Горизонтальные асимптоты отсутствуют, поскольку $Q (x)$ равно $1$ .

Нет горизонтальных асимптот

Этап 1.5

У логарифмических и тригонометрических функций нет наклонных асимптот.

Нет наклонных асимптот

Этап 1.6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = 1$

Нет горизонтальных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = 1$

Нет горизонтальных асимптот

Этап 2

Найдем точку в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \log_{4} ((2) - 1) + 2$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вычтем $1$ из $2$ .

$f (2) = \log_{4} (1) + 2$

Этап 2.2.1.2

Логарифм $1$ по основанию $4$ равен $0$ .

$f (2) = 0 + 2$

Этап 2.2.2

Добавим $0$ и $2$ .

$f (2) = 2$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 2.3

Преобразуем $2$ в десятичное представление.

$y = 2$

Этап 3

Найдем точку в $x = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f (5) = \log_{4} ((5) - 1) + 2$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вычтем $1$ из $5$ .

$f (5) = \log_{4} (4) + 2$

Этап 3.2.1.2

Логарифм $4$ по основанию $4$ равен $1$ .

$f (5) = 1 + 2$

Этап 3.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f (5) = 3$

Этап 3.2.3

Окончательный ответ: $3$ .

$3$

Этап 3.3

Преобразуем $3$ в десятичное представление.

$y = 3$

Этап 4

Найдем точку в $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = \log_{4} ((3) - 1) + 2$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Вычтем $1$ из $3$ .

$f (3) = \log_{4} (2) + 2$

Этап 4.2.1.2

Логарифм $2$ по основанию $4$ равен $\frac{1}{2}$ .

$f (3) = \frac{1}{2} + 2$

Этап 4.2.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (3) = \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 4.2.3

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (3) = \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}$

Этап 4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (3) = \frac{1 + 2 \cdot 2}{2}$

Этап 4.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f (3) = \frac{1 + 4}{2}$

Этап 4.2.5.2

Добавим $1$ и $4$ .

$f (3) = \frac{5}{2}$

Этап 4.2.6

Окончательный ответ: $\frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2}$

Этап 4.3

Преобразуем $\frac{5}{2}$ в десятичное представление.

$y = 2.5$

Этап 5

График логарифмической функции можно построить с помощью вертикальной асимптоты в точке $x = 1$ и точек $(2, 2), (5, 3), (3, 2.5)$ .

Вертикальная асимптота: $x = 1$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 2 \\ 3 & 2.5 \\ 5 & 3 \end{array}$

Этап 6