Тригонометрия Примеры

$f (x) = \log_{3} (3 x)$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Приравняем аргумент логарифма к нулю.

$3 x = 0$

Этап 1.2

Разделим каждый член $3 x = 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разделим каждый член $3 x = 0$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 1.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Этап 1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

$x = 0$

Этап 1.3

Вертикальная асимптота возникает в $x = 0$ .

Вертикальная асимптота: $x = 0$

Этап 2

Найдем точку в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \log_{3} (3 (1))$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $3$ на $1$ .

$f (1) = \log_{3} (3)$

Этап 2.2.2

Логарифм $3$ по основанию $3$ равен $1$ .

$f (1) = 1$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 2.3

Преобразуем $1$ в десятичное представление.

$y = 1$

Этап 3

Найдем точку в $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = \log_{3} (3 (3))$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $3$ на $3$ .

$f (3) = \log_{3} (9)$

Этап 3.2.2

Логарифм $9$ по основанию $3$ равен $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Запишем как уравнение.

$\log_{3} (9) = x$

Этап 3.2.2.2

Перепишем $\log_{3} (9) = x$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ положительные вещественные числа, и $b$ не равно $1$ , то равенство $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$3^{x} = 9$

Этап 3.2.2.3

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$3^{x} = 3^{2}$

Этап 3.2.2.4

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$x = 2$

Этап 3.2.2.5

Переменная $x$ равна $2$ .

$f (3) = 2$

Этап 3.2.3

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 3.3

Преобразуем $2$ в десятичное представление.

$y = 2$

Этап 4

Найдем точку в $x = 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $9$ .

$f (9) = \log_{3} (3 (9))$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $3$ на $9$ .

$f (9) = \log_{3} (27)$

Этап 4.2.2

Логарифм $27$ по основанию $3$ равен $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Запишем как уравнение.

$\log_{3} (27) = x$

Этап 4.2.2.2

Перепишем $\log_{3} (27) = x$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ положительные вещественные числа, и $b$ не равно $1$ , то равенство $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$3^{x} = 27$

Этап 4.2.2.3

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$3^{x} = 3^{3}$

Этап 4.2.2.4

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$x = 3$

Этап 4.2.2.5

Переменная $x$ равна $3$ .

$f (9) = 3$

Этап 4.2.3

Окончательный ответ: $3$ .

$3$

Этап 4.3

Преобразуем $3$ в десятичное представление.

$y = 3$

Этап 5

График логарифмической функции можно построить с помощью вертикальной асимптоты в точке $x = 0$ и точек $(1, 1), (3, 2), (9, 3)$ .

Вертикальная асимптота: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 1 \\ 3 & 2 \\ 9 & 3 \end{array}$

Этап 6