Тригонометрия Примеры

$f (x) = 3 \sin (x - π) + 4$

Этап 1

Применим форму $a \sin (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = 3$

$b = 1$

$c = π$

$d = 4$

Этап 2

Найдем амплитуду $| a |$ .

Амплитуда: $3$

Этап 3

Найдем период, используя формулу $\frac{2 π}{| b |}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем период $3 \sin (x - π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.1.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.1.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.2

Найдем период $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.2.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.2.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.3

Период суммы/разности тригонометрических функций равен наибольшему из отдельных периодов.

$2 π$

Этап 4

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 4.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{π}{1}$

Этап 4.3

Разделим $π$ на $1$ .

Сдвиг фазы: $π$

Этап 5

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: $3$

Период: $2 π$

Сдвиг фазы: $π$ ( $π$ вправо)

Смещение по вертикали: $4$

Этап 6

Выберем несколько точек для построения графика.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем точку в $x = π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $π$ .

$f (π) = 3 \sin ((π) - π) + 4$

Этап 6.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1

Вычтем $π$ из $π$ .

$f (π) = 3 \sin (0) + 4$

Этап 6.1.2.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f (π) = 3 \cdot 0 + 4$

Этап 6.1.2.1.3

Умножим $3$ на $0$ .

$f (π) = 0 + 4$

Этап 6.1.2.2

Добавим $0$ и $4$ .

$f (π) = 4$

Этап 6.1.2.3

Окончательный ответ: $4$ .

$4$

Этап 6.2

Найдем точку в $x = \frac{3 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3 π}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \sin ((\frac{3 π}{2}) - π) + 4$

Этап 6.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Чтобы записать $- π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \sin (\frac{3 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}) + 4$

Этап 6.2.2.1.2

Объединим $- π$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \sin (\frac{3 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}) + 4$

Этап 6.2.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \sin (\frac{3 π - π \cdot 2}{2}) + 4$

Этап 6.2.2.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \sin (\frac{3 π - 2 π}{2}) + 4$

Этап 6.2.2.1.4.2

Вычтем $2 π$ из $3 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \sin (\frac{π}{2}) + 4$

Этап 6.2.2.1.5

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \cdot 1 + 4$

Этап 6.2.2.1.6

Умножим $3$ на $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 + 4$

Этап 6.2.2.2

Добавим $3$ и $4$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 7$

Этап 6.2.2.3

Окончательный ответ: $7$ .

$7$

Этап 6.3

Найдем точку в $x = 2 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2 π$ .

$f (2 π) = 3 \sin ((2 π) - π) + 4$

Этап 6.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$f (2 π) = 3 \sin (π) + 4$

Этап 6.3.2.1.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (2 π) = 3 \sin (0) + 4$

Этап 6.3.2.1.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f (2 π) = 3 \cdot 0 + 4$

Этап 6.3.2.1.4

Умножим $3$ на $0$ .

$f (2 π) = 0 + 4$

Этап 6.3.2.2

Добавим $0$ и $4$ .

$f (2 π) = 4$

Этап 6.3.2.3

Окончательный ответ: $4$ .

$4$

Этап 6.4

Найдем точку в $x = \frac{5 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{5 π}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = 3 \sin ((\frac{5 π}{2}) - π) + 4$

Этап 6.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Чтобы записать $- π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = 3 \sin (\frac{5 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}) + 4$

Этап 6.4.2.1.2

Объединим $- π$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = 3 \sin (\frac{5 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}) + 4$

Этап 6.4.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{5 π}{2}) = 3 \sin (\frac{5 π - π \cdot 2}{2}) + 4$

Этап 6.4.2.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = 3 \sin (\frac{5 π - 2 π}{2}) + 4$

Этап 6.4.2.1.4.2

Вычтем $2 π$ из $5 π$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = 3 \sin (\frac{3 π}{2}) + 4$

Этап 6.4.2.1.5

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$f (\frac{5 π}{2}) = 3 (- \sin (\frac{π}{2})) + 4$

Этап 6.4.2.1.6

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = 3 (- 1 \cdot 1) + 4$

Этап 6.4.2.1.7

Умножим $3 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.7.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = 3 \cdot - 1 + 4$

Этап 6.4.2.1.7.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 + 4$

Этап 6.4.2.2

Добавим $- 3$ и $4$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = 1$

Этап 6.4.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 6.5

Найдем точку в $x = 3 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3 π$ .

$f (3 π) = 3 \sin ((3 π) - π) + 4$

Этап 6.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1

Вычтем $π$ из $3 π$ .

$f (3 π) = 3 \sin (2 π) + 4$

Этап 6.5.2.1.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (3 π) = 3 \sin (0) + 4$

Этап 6.5.2.1.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f (3 π) = 3 \cdot 0 + 4$

Этап 6.5.2.1.4

Умножим $3$ на $0$ .

$f (3 π) = 0 + 4$

Этап 6.5.2.2

Добавим $0$ и $4$ .

$f (3 π) = 4$

Этап 6.5.2.3

Окончательный ответ: $4$ .

$4$

Этап 6.6

Перечислим точки в таблице.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ π & 4 \\ \frac{3 π}{2} & 7 \\ 2 π & 4 \\ \frac{5 π}{2} & 1 \\ 3 π & 4 \end{array}$

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Амплитуда: $3$

Период: $2 π$

Сдвиг фазы: $π$ ( $π$ вправо)

Смещение по вертикали: $4$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ π & 4 \\ \frac{3 π}{2} & 7 \\ 2 π & 4 \\ \frac{5 π}{2} & 1 \\ 3 π & 4 \end{array}$

Этап 8