Тригонометрия Примеры

$f (x) = \cos (x + \frac{π}{4}) - 1$

Этап 1

Применим форму $a \cos (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = 1$

$b = 1$

$c = - \frac{π}{4}$

$d = - 1$

Этап 2

Найдем амплитуду $| a |$ .

Амплитуда: $1$

Этап 3

Найдем период, используя формулу $\frac{2 π}{| b |}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем период $\cos (x + \frac{π}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.1.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.1.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.2

Найдем период $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.2.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.2.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.3

Период суммы/разности тригонометрических функций равен наибольшему из отдельных периодов.

$2 π$

Этап 4

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 4.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{- \frac{π}{4}}{1}$

Этап 4.3

Разделим $- \frac{π}{4}$ на $1$ .

Сдвиг фазы: $- \frac{π}{4}$

Этап 5

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: $1$

Период: $2 π$

Сдвиг фазы: $- \frac{π}{4}$ ( $\frac{π}{4}$ влево)

Смещение по вертикали: $- 1$

Этап 6

Выберем несколько точек для построения графика.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем точку в $x = - \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{π}{4}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \cos ((- \frac{π}{4}) + \frac{π}{4}) - 1$

Этап 6.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{π}{4}) = \cos (\frac{- π + π}{4}) - 1$

Этап 6.1.2.1.2

Добавим $- π$ и $π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \cos (\frac{0}{4}) - 1$

Этап 6.1.2.1.3

Разделим $0$ на $4$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \cos (0) - 1$

Этап 6.1.2.1.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 1 - 1$

Этап 6.1.2.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 0$

Этап 6.1.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 6.2

Найдем точку в $x = \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{4}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \cos ((\frac{π}{4}) + \frac{π}{4}) - 1$

Этап 6.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{π}{4}) = \cos (\frac{π + π}{4}) - 1$

Этап 6.2.2.1.2

Добавим $π$ и $π$ .

$f (\frac{π}{4}) = \cos (\frac{2 π}{4}) - 1$

Этап 6.2.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$f (\frac{π}{4}) = \cos (\frac{2 (π)}{4}) - 1$

Этап 6.2.2.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2}) - 1$

Этап 6.2.2.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{4}) = \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2}) - 1$

Этап 6.2.2.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{4}) = \cos (\frac{π}{2}) - 1$

Этап 6.2.2.1.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$f (\frac{π}{4}) = 0 - 1$

Этап 6.2.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$f (\frac{π}{4}) = - 1$

Этап 6.2.2.3

Окончательный ответ: $- 1$ .

$- 1$

Этап 6.3

Найдем точку в $x = \frac{3 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3 π}{4}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \cos ((\frac{3 π}{4}) + \frac{π}{4}) - 1$

Этап 6.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{3 π}{4}) = \cos (\frac{3 π + π}{4}) - 1$

Этап 6.3.2.1.2

Добавим $3 π$ и $π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \cos (\frac{4 π}{4}) - 1$

Этап 6.3.2.1.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 π}{4}) = \cos (\frac{4 π}{4}) - 1$

Этап 6.3.2.1.3.2

Разделим $π$ на $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \cos (π) - 1$

Этап 6.3.2.1.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \cos (0) - 1$

Этап 6.3.2.1.5

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 1 \cdot 1 - 1$

Этап 6.3.2.1.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 1 - 1$

Этап 6.3.2.2

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2$

Этап 6.3.2.3

Окончательный ответ: $- 2$ .

$- 2$

Этап 6.4

Найдем точку в $x = \frac{5 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{5 π}{4}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \cos ((\frac{5 π}{4}) + \frac{π}{4}) - 1$

Этап 6.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{5 π}{4}) = \cos (\frac{5 π + π}{4}) - 1$

Этап 6.4.2.1.2

Добавим $5 π$ и $π$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \cos (\frac{6 π}{4}) - 1$

Этап 6.4.2.1.3

Сократим общий множитель $6$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $6 π$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \cos (\frac{2 (3 π)}{4}) - 1$

Этап 6.4.2.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \cos (\frac{2 (3 π)}{2 (2)}) - 1$

Этап 6.4.2.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 π}{4}) = \cos (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}) - 1$

Этап 6.4.2.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 π}{4}) = \cos (\frac{3 π}{2}) - 1$

Этап 6.4.2.1.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (\frac{5 π}{4}) = \cos (\frac{π}{2}) - 1$

Этап 6.4.2.1.5

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 0 - 1$

Этап 6.4.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - 1$

Этап 6.4.2.3

Окончательный ответ: $- 1$ .

$- 1$

Этап 6.5

Найдем точку в $x = \frac{7 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{7 π}{4}$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \cos ((\frac{7 π}{4}) + \frac{π}{4}) - 1$

Этап 6.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{7 π}{4}) = \cos (\frac{7 π + π}{4}) - 1$

Этап 6.5.2.1.2

Добавим $7 π$ и $π$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \cos (\frac{8 π}{4}) - 1$

Этап 6.5.2.1.3

Сократим общий множитель $8$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $8 π$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \cos (\frac{4 (2 π)}{4}) - 1$

Этап 6.5.2.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \cos (\frac{4 (2 π)}{4 (1)}) - 1$

Этап 6.5.2.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{7 π}{4}) = \cos (\frac{4 (2 π)}{4 \cdot 1}) - 1$

Этап 6.5.2.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{7 π}{4}) = \cos (\frac{2 π}{1}) - 1$

Этап 6.5.2.1.3.2.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \cos (2 π) - 1$

Этап 6.5.2.1.4

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \cos (0) - 1$

Этап 6.5.2.1.5

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 1 - 1$

Этап 6.5.2.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 0$

Этап 6.5.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 6.6

Перечислим точки в таблице.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{4} & 0 \\ \frac{π}{4} & - 1 \\ \frac{3 π}{4} & - 2 \\ \frac{5 π}{4} & - 1 \\ \frac{7 π}{4} & 0 \end{array}$

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Амплитуда: $1$

Период: $2 π$

Сдвиг фазы: $- \frac{π}{4}$ ( $\frac{π}{4}$ влево)

Смещение по вертикали: $- 1$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{4} & 0 \\ \frac{π}{4} & - 1 \\ \frac{3 π}{4} & - 2 \\ \frac{5 π}{4} & - 1 \\ \frac{7 π}{4} & 0 \end{array}$

Этап 8