Тригонометрия Примеры

$a = 15$ , $c = 7$ , $B = 64$

Этап 1

Используем теорему косинусов, чтобы найти неизвестную сторону треугольника по двум другим сторонам и прилежащему углу.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Этап 2

Решим уравнение.

$b = \sqrt{a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)}$

Этап 3

Подставим известные значения в уравнение.

$b = \sqrt{{(15)}^{2} + {(7)}^{2} - 2 \cdot 15 \cdot 7 \cos (64)}$

Этап 4

Упростим результаты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $15$ в степень $2$ .

$b = \sqrt{225 + {(7)}^{2} - 2 \cdot 15 \cdot (7 \cos (64))}$

Этап 4.2

Возведем $7$ в степень $2$ .

$b = \sqrt{225 + 49 - 2 \cdot 15 \cdot (7 \cos (64))}$

Этап 4.3

Умножим $- 2 \cdot 15 \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $- 2$ на $15$ .

$b = \sqrt{225 + 49 - 30 \cdot (7 \cos (64))}$

Этап 4.3.2

Умножим $- 30$ на $7$ .

$b = \sqrt{225 + 49 - 210 \cos (64)}$

Этап 4.4

Найдем значение $\cos (64)$ .

$b = \sqrt{225 + 49 - 210 \cdot 0.43837114}$

Этап 4.5

Умножим $- 210$ на $0.43837114$ .

$b = \sqrt{225 + 49 - 92.05794082}$

Этап 4.6

Добавим $225$ и $49$ .

$b = \sqrt{274 - 92.05794082}$

Этап 4.7

Вычтем $92.05794082$ из $274$ .

$b = \sqrt{181.94205917}$

Этап 4.8

Найдем значение корня.

$b = 13.48858996$

Этап 5

Теорема синусов основана на пропорциональности сторон и углов в треугольниках. Закон гласит, что для углов непрямого треугольника стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 6

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $A$ .

$\frac{\sin (A)}{15} = \frac{\sin (64)}{13.48858996}$

Этап 7

Решим уравнение относительно $A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим обе части уравнения на $15$ .

$15 \frac{\sin (A)}{15} = 15 \frac{\sin (64)}{13.48858996}$

Этап 7.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$15 \frac{\sin (A)}{15} = 15 \frac{\sin (64)}{13.48858996}$

Этап 7.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (A) = 15 \frac{\sin (64)}{13.48858996}$

Этап 7.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Упростим $15 \frac{\sin (64)}{13.48858996}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Найдем значение $\sin (64)$ .

$\sin (A) = 15 (\frac{0.89879404}{13.48858996})$

Этап 7.2.2.1.2

Разделим $0.89879404$ на $13.48858996$ .

$\sin (A) = 15 \cdot 0.06663365$

Этап 7.2.2.1.3

Умножим $15$ на $0.06663365$ .

$\sin (A) = 0.99950482$

Этап 7.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $A$ из синуса.

$A = \arcsin (0.99950482)$

Этап 7.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Найдем значение $\arcsin (0.99950482)$ .

$A = 88.19682985$

Этап 7.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение во втором квадранте.

$A = 180 - 88.19682985$

Этап 7.6

Вычтем $88.19682985$ из $180$ .

$A = 91.80317014$

Этап 7.7

Решение уравнения $A = 88.19682985$ .

$A = 88.19682985, 91.80317014$

Этап 8

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$88.19682985 + C + 64 = 180$

Этап 9

Решим уравнение относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $88.19682985$ и $64$ .

$C + 152.19682985 = 180$

Этап 9.2

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вычтем $152.19682985$ из обеих частей уравнения.

$C = 180 - 152.19682985$

Этап 9.2.2

Вычтем $152.19682985$ из $180$ .

$C = 27.80317014$

Этап 10

Это результаты для всех углов и сторон данного треугольника.

$A = 88.19682985$

$B = 64$

$C = 27.80317014$

$a = 15$

$b = 13.48858996$

$c = 7$