Тригонометрия Примеры

$a = 10$ , $c = 8.5$ , $A = 67$

Этап 1

Теорема синусов основана на пропорциональности сторон и углов в треугольниках. Закон гласит, что для углов непрямого треугольника стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 2

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $C$ .

$\frac{\sin (C)}{8.5} = \frac{\sin (67)}{10}$

Этап 3

Решим уравнение относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $8.5$ .

$8.5 \frac{\sin (C)}{8.5} = 8.5 \frac{\sin (67)}{10}$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $8.5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$8.5 \frac{\sin (C)}{8.5} = 8.5 \frac{\sin (67)}{10}$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (C) = 8.5 \frac{\sin (67)}{10}$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $8.5 \frac{\sin (67)}{10}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Найдем значение $\sin (67)$ .

$\sin (C) = 8.5 (\frac{0.92050485}{10})$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $0.92050485$ на $10$ .

$\sin (C) = 8.5 \cdot 0.09205048$

Этап 3.2.2.1.3

Умножим $8.5$ на $0.09205048$ .

$\sin (C) = 0.78242912$

Этап 3.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $C$ из синуса.

$C = \arcsin (0.78242912)$

Этап 3.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Найдем значение $\arcsin (0.78242912)$ .

$C = 51.48352506$

Этап 3.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение во втором квадранте.

$C = 180 - 51.48352506$

Этап 3.6

Вычтем $51.48352506$ из $180$ .

$C = 128.51647493$

Этап 3.7

Решение уравнения $C = 51.48352506$ .

$C = 51.48352506, 128.51647493$

Этап 3.8

Исключим недопустимый угол.

$C = 51.48352506$

Этап 4

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$67 + 51.48352506 + B = 180$

Этап 5

Решим уравнение относительно $B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $67$ и $51.48352506$ .

$118.48352506 + B = 180$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $118.48352506$ из обеих частей уравнения.

$B = 180 - 118.48352506$

Этап 5.2.2

Вычтем $118.48352506$ из $180$ .

$B = 61.51647493$

Этап 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 7

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $b$ .

$\frac{\sin (61.51647493)}{b} = \frac{\sin (67)}{10}$

Этап 8

Решим уравнение относительно $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Найдем значение $\sin (61.51647493)$ .

$\frac{0.87895427}{b} = \frac{\sin (67)}{10}$

Этап 8.1.2

Найдем значение $\sin (67)$ .

$\frac{0.87895427}{b} = \frac{0.92050485}{10}$

Этап 8.1.3

Разделим $0.92050485$ на $10$ .

$\frac{0.87895427}{b} = 0.09205048$

Этап 8.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$b, 1$

Этап 8.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$b$

Этап 8.3

Каждый член в $\frac{0.87895427}{b} = 0.09205048$ умножим на $b$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим каждый член $\frac{0.87895427}{b} = 0.09205048$ на $b$ .

$\frac{0.87895427}{b} b = 0.09205048 b$

Этап 8.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Сократим общий множитель $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.87895427}{b} b = 0.09205048 b$

Этап 8.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$0.87895427 = 0.09205048 b$

Этап 8.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Перепишем уравнение в виде $0.09205048 b = 0.87895427$ .

$0.09205048 b = 0.87895427$

Этап 8.4.2

Разделим каждый член $0.09205048 b = 0.87895427$ на $0.09205048$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Разделим каждый член $0.09205048 b = 0.87895427$ на $0.09205048$ .

$\frac{0.09205048 b}{0.09205048} = \frac{0.87895427}{0.09205048}$

Этап 8.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.2.1

Сократим общий множитель $0.09205048$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.09205048 b}{0.09205048} = \frac{0.87895427}{0.09205048}$

Этап 8.4.2.2.1.2

Разделим $b$ на $1$ .

$b = \frac{0.87895427}{0.09205048}$

Этап 8.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.3.1

Разделим $0.87895427$ на $0.09205048$ .

$b = 9.54861102$

Этап 9

Это результаты для всех углов и сторон данного треугольника.

$A = 67$

$B = 61.51647493$

$C = 51.48352506$

$a = 10$

$b = 9.54861102$

$c = 8.5$