Тригонометрия Примеры

$A = 30$ , $a = 7$ , $b = 14$

Этап 1

Теорема синусов дает неоднозначный результат. Это указывает на существование $2$ углов, при которых уравнение имеет корректное решение. Для первого треугольника используем первое возможное значение угла.

Найдем решение для первого треугольника.

Этап 2

Теорема синусов основана на пропорциональности сторон и углов в треугольниках. Закон гласит, что для углов непрямого треугольника стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 3

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $B$ .

$\frac{\sin (B)}{14} = \frac{\sin (30)}{7}$

Этап 4

Решим уравнение относительно $B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим обе части уравнения на $14$ .

$14 \frac{\sin (B)}{14} = 14 \frac{\sin (30)}{7}$

Этап 4.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель $14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$14 \frac{\sin (B)}{14} = 14 \frac{\sin (30)}{7}$

Этап 4.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (B) = 14 \frac{\sin (30)}{7}$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим $14 \frac{\sin (30)}{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $7$ из $14$ .

$\sin (B) = 7 (2) \frac{\sin (30)}{7}$

Этап 4.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\sin (B) = 7 \cdot 2 \frac{\sin (30)}{7}$

Этап 4.2.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$\sin (B) = 2 \sin (30)$

Этап 4.2.2.1.2

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$\sin (B) = 2 (\frac{1}{2})$

Этап 4.2.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\sin (B) = 2 (\frac{1}{2})$

Этап 4.2.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\sin (B) = 1$

Этап 4.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $B$ из синуса.

$B = \arcsin (1)$

Этап 4.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Точное значение $\arcsin (1)$ : $90$ .

$B = 90$

Этап 4.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение во втором квадранте.

$B = 180 - 90$

Этап 4.6

Вычтем $90$ из $180$ .

$B = 90$

Этап 4.7

Решение уравнения $B = 90$ .

$B = 90, 90$

Этап 5

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$30 + C + 90 = 180$

Этап 6

Решим уравнение относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Добавим $30$ и $90$ .

$C + 120 = 180$

Этап 6.2

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $120$ из обеих частей уравнения.

$C = 180 - 120$

Этап 6.2.2

Вычтем $120$ из $180$ .

$C = 60$

Этап 7

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 8

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $c$ .

$\frac{\sin (60)}{c} = \frac{\sin (30)}{7}$

Этап 9

Решим уравнение относительно $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Точное значение $\sin (60)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{c} = \frac{\sin (30)}{7}$

Этап 9.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{c} = \frac{\sin (30)}{7}$

Этап 9.1.3

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $\frac{1}{c}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{\sin (30)}{7}$

Этап 9.1.4

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{\frac{1}{2}}{7}$

Этап 9.1.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7}$

Этап 9.1.6

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.6.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{7}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{1}{2 \cdot 7}$

Этап 9.1.6.2

Умножим $2$ на $7$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{1}{14}$

Этап 9.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 c, 14$

Этап 9.2.2

Since $2 c, 14$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $2, 14$ then find LCM for the variable part $c^{1}$ .

Этап 9.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 9.2.4

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 9.2.5

У $14$ есть множители: $2$ и $7$ .

$2 \cdot 7$

Этап 9.2.6

Умножим $2$ на $7$ .

$14$

Этап 9.2.7

Множителем $c^{1}$ является само значение $c$ .

$c^{1} = c$

$c$ встречается $1$ раз.

Этап 9.2.8

НОК $c^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$c$

Этап 9.2.9

НОК $2 c, 14$ представляет собой произведение числовой части $14$ и переменной части.

$14 c$

Этап 9.3

Каждый член в $\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{1}{14}$ умножим на $14 c$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим каждый член $\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{1}{14}$ на $14 c$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} (14 c) = \frac{1}{14} (14 c)$

Этап 9.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$14 \frac{\sqrt{3}}{2 c} c = \frac{1}{14} (14 c)$

Этап 9.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $14$ .

$2 (7) \frac{\sqrt{3}}{2 c} c = \frac{1}{14} (14 c)$

Этап 9.3.2.2.2

Вынесем множитель $2$ из $2 c$ .

$2 (7) \frac{\sqrt{3}}{2 (c)} c = \frac{1}{14} (14 c)$

Этап 9.3.2.2.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 7 \frac{\sqrt{3}}{2 c} c = \frac{1}{14} (14 c)$

Этап 9.3.2.2.4

Перепишем это выражение.

$7 \frac{\sqrt{3}}{c} c = \frac{1}{14} (14 c)$

Этап 9.3.2.3

Объединим $7$ и $\frac{\sqrt{3}}{c}$ .

$\frac{7 \sqrt{3}}{c} c = \frac{1}{14} (14 c)$

Этап 9.3.2.4

Сократим общий множитель $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 \sqrt{3}}{c} c = \frac{1}{14} (14 c)$

Этап 9.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$7 \sqrt{3} = \frac{1}{14} (14 c)$

Этап 9.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Сократим общий множитель $14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1.1

Вынесем множитель $14$ из $14 c$ .

$7 \sqrt{3} = \frac{1}{14} (14 (c))$

Этап 9.3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$7 \sqrt{3} = \frac{1}{14} (14 c)$

Этап 9.3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$7 \sqrt{3} = c$

Этап 9.4

Перепишем уравнение в виде $c = 7 \sqrt{3}$ .

$c = 7 \sqrt{3}$

Этап 10

Для второго треугольника воспользуемся вторым возможным значением угла.

Найдем решение для второго треугольника.

Этап 11

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 12

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $B$ .

$\frac{\sin (B)}{14} = \frac{\sin (30)}{7}$

Этап 13

Решим уравнение относительно $B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим обе части уравнения на $14$ .

$14 \frac{\sin (B)}{14} = 14 \frac{\sin (30)}{7}$

Этап 13.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1

Сократим общий множитель $14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$14 \frac{\sin (B)}{14} = 14 \frac{\sin (30)}{7}$

Этап 13.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (B) = 14 \frac{\sin (30)}{7}$

Этап 13.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1

Упростим $14 \frac{\sin (30)}{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $7$ из $14$ .

$\sin (B) = 7 (2) \frac{\sin (30)}{7}$

Этап 13.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\sin (B) = 7 \cdot 2 \frac{\sin (30)}{7}$

Этап 13.2.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$\sin (B) = 2 \sin (30)$

Этап 13.2.2.1.2

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$\sin (B) = 2 (\frac{1}{2})$

Этап 13.2.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\sin (B) = 2 (\frac{1}{2})$

Этап 13.2.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\sin (B) = 1$

Этап 13.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $B$ из синуса.

$B = \arcsin (1)$

Этап 13.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Точное значение $\arcsin (1)$ : $90$ .

$B = 90$

Этап 13.5

$B = 180 - 90$

Этап 13.6

Вычтем $90$ из $180$ .

$B = 90$

Этап 13.7

Решение уравнения $B = 90$ .

$B = 90, 90$

Этап 14

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$30 + C + 90 = 180$

Этап 15

Решим уравнение относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Добавим $30$ и $90$ .

$C + 120 = 180$

Этап 15.2

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Вычтем $120$ из обеих частей уравнения.

$C = 180 - 120$

Этап 15.2.2

Вычтем $120$ из $180$ .

$C = 60$

Этап 16

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 17

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $c$ .

$\frac{\sin (60)}{c} = \frac{\sin (30)}{7}$

Этап 18

Решим уравнение относительно $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.1

Точное значение $\sin (60)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{c} = \frac{\sin (30)}{7}$

Этап 18.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{c} = \frac{\sin (30)}{7}$

Этап 18.1.3

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $\frac{1}{c}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{\sin (30)}{7}$

Этап 18.1.4

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{\frac{1}{2}}{7}$

Этап 18.1.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7}$

Этап 18.1.6

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.6.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{7}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{1}{2 \cdot 7}$

Этап 18.1.6.2

Умножим $2$ на $7$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{1}{14}$

Этап 18.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 c, 14$

Этап 18.2.2

Since $2 c, 14$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $2, 14$ then find LCM for the variable part $c^{1}$ .

Этап 18.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 18.2.4

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 18.2.5

У $14$ есть множители: $2$ и $7$ .

$2 \cdot 7$

Этап 18.2.6

Умножим $2$ на $7$ .

$14$

Этап 18.2.7

Множителем $c^{1}$ является само значение $c$ .

$c^{1} = c$

$c$ встречается $1$ раз.

Этап 18.2.8

$c$

Этап 18.2.9

НОК $2 c, 14$ представляет собой произведение числовой части $14$ и переменной части.

$14 c$

Этап 18.3

Каждый член в $\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{1}{14}$ умножим на $14 c$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.1

Умножим каждый член $\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{1}{14}$ на $14 c$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} (14 c) = \frac{1}{14} (14 c)$

Этап 18.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$14 \frac{\sqrt{3}}{2 c} c = \frac{1}{14} (14 c)$

Этап 18.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $14$ .

$2 (7) \frac{\sqrt{3}}{2 c} c = \frac{1}{14} (14 c)$

Этап 18.3.2.2.2

Вынесем множитель $2$ из $2 c$ .

$2 (7) \frac{\sqrt{3}}{2 (c)} c = \frac{1}{14} (14 c)$

Этап 18.3.2.2.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 7 \frac{\sqrt{3}}{2 c} c = \frac{1}{14} (14 c)$

Этап 18.3.2.2.4

Перепишем это выражение.

$7 \frac{\sqrt{3}}{c} c = \frac{1}{14} (14 c)$

Этап 18.3.2.3

Объединим $7$ и $\frac{\sqrt{3}}{c}$ .

$\frac{7 \sqrt{3}}{c} c = \frac{1}{14} (14 c)$

Этап 18.3.2.4

Сократим общий множитель $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 \sqrt{3}}{c} c = \frac{1}{14} (14 c)$

Этап 18.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$7 \sqrt{3} = \frac{1}{14} (14 c)$

Этап 18.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.3.1

Сократим общий множитель $14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.3.1.1

Вынесем множитель $14$ из $14 c$ .

$7 \sqrt{3} = \frac{1}{14} (14 (c))$

Этап 18.3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$7 \sqrt{3} = \frac{1}{14} (14 c)$

Этап 18.3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$7 \sqrt{3} = c$

Этап 18.4

Перепишем уравнение в виде $c = 7 \sqrt{3}$ .

$c = 7 \sqrt{3}$

Этап 19

Это результаты для всех углов и сторон данного треугольника.

Комбинация первого треугольника:

$A = 30$

$B = 90$

$C = 60$

$a = 7$

$b = 14$

$c = 7 \sqrt{3}$

Комбинация второго треугольника:

$A = 30$

$B = 90$

$C = 60$

$a = 7$

$b = 14$

$c = 7 \sqrt{3}$