Тригонометрия Примеры

$a = 8$ , $c = 13$ , $B = 150$

Этап 1

Используем теорему косинусов, чтобы найти неизвестную сторону треугольника по двум другим сторонам и прилежащему углу.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Этап 2

Решим уравнение.

$b = \sqrt{a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)}$

Этап 3

Подставим известные значения в уравнение.

$b = \sqrt{{(8)}^{2} + {(13)}^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 13 \cos (150)}$

Этап 4

Упростим результаты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$b = \sqrt{64 + {(13)}^{2} - 2 \cdot 8 \cdot (13 \cos (150))}$

Этап 4.2

Возведем $13$ в степень $2$ .

$b = \sqrt{64 + 169 - 2 \cdot 8 \cdot (13 \cos (150))}$

Этап 4.3

Умножим $- 2 \cdot 8 \cdot 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $- 2$ на $8$ .

$b = \sqrt{64 + 169 - 16 \cdot (13 \cos (150))}$

Этап 4.3.2

Умножим $- 16$ на $13$ .

$b = \sqrt{64 + 169 - 208 \cos (150)}$

Этап 4.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$b = \sqrt{64 + 169 - 208 (- \cos (30))}$

Этап 4.5

Точное значение $\cos (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$b = \sqrt{64 + 169 - 208 (- \frac{\sqrt{3}}{2})}$

Этап 4.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ в числитель.

$b = \sqrt{64 + 169 - 208 \frac{- \sqrt{3}}{2}}$

Этап 4.6.2

Вынесем множитель $2$ из $- 208$ .

$b = \sqrt{64 + 169 + 2 (- 104) (\frac{- \sqrt{3}}{2})}$

Этап 4.6.3

Сократим общий множитель.

$b = \sqrt{64 + 169 + 2 \cdot (- 104 \frac{- \sqrt{3}}{2})}$

Этап 4.6.4

Перепишем это выражение.

$b = \sqrt{64 + 169 - 104 (- \sqrt{3})}$

Этап 4.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Умножим $- 1$ на $- 104$ .

$b = \sqrt{64 + 169 + 104 \sqrt{3}}$

Этап 4.7.2

Добавим $64$ и $169$ .

$b = \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}$

Этап 5

Теорема синусов основана на пропорциональности сторон и углов в треугольниках. Закон гласит, что для углов непрямого треугольника стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 6

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $A$ .

$\frac{\sin (A)}{8} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Этап 7

Решим уравнение относительно $A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим обе части уравнения на $8$ .

$8 \frac{\sin (A)}{8} = 8 \frac{\sin (150)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Этап 7.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$8 \frac{\sin (A)}{8} = 8 \frac{\sin (150)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Этап 7.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (A) = 8 \frac{\sin (150)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Этап 7.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Упростим $8 \frac{\sin (150)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\sin (A) = 8 \frac{\sin (30)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Этап 7.2.2.1.1.2

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$\sin (A) = 8 \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Этап 7.2.2.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sin (A) = 8 (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}})$

Этап 7.2.2.1.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$ .

$\sin (A) = 8 \frac{1}{2 \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Этап 7.2.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\sin (A) = 2 (4) \frac{1}{2 \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Этап 7.2.2.1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}$ .

$\sin (A) = 2 (4) \frac{1}{2 (\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}})}$

Этап 7.2.2.1.4.3

Сократим общий множитель.

$\sin (A) = 2 \cdot 4 \frac{1}{2 \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Этап 7.2.2.1.4.4

Перепишем это выражение.

$\sin (A) = 4 \frac{1}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Этап 7.2.2.1.5

Объединим $4$ и $\frac{1}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$ .

$\sin (A) = \frac{4}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Этап 7.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $A$ из синуса.

$A = \arcsin (\frac{4}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}})$

Этап 7.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{4}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}})$ .

$A = 11.34962381$

Этап 7.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение во втором квадранте.

$A = 180 - 11.34962381$

Этап 7.6

Вычтем $11.34962381$ из $180$ .

$A = 168.65037618$

Этап 7.7

Решение уравнения $A = 11.34962381$ .

$A = 11.34962381, 168.65037618$

Этап 7.8

Исключим недопустимый угол.

$A = 11.34962381$

Этап 8

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$11.34962381 + C + 150 = 180$

Этап 9

Решим уравнение относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $11.34962381$ и $150$ .

$C + 161.34962381 = 180$

Этап 9.2

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вычтем $161.34962381$ из обеих частей уравнения.

$C = 180 - 161.34962381$

Этап 9.2.2

Вычтем $161.34962381$ из $180$ .

$C = 18.65037618$

Этап 10

Это результаты для всех углов и сторон данного треугольника.

$A = 11.34962381$

$B = 150$

$C = 18.65037618$

$a = 8$

$b = \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}$

$c = 13$