Тригонометрия Примеры

$C = 3$ , $a = 16$ , $b = 33$

Этап 1

Используем теорему косинусов, чтобы найти неизвестную сторону треугольника по двум другим сторонам и прилежащему углу.

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

Этап 2

Решим уравнение.

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)}$

Этап 3

Подставим известные значения в уравнение.

$c = \sqrt{{(16)}^{2} + {(33)}^{2} - 2 \cdot 16 \cdot 33 \cos (3)}$

Этап 4

Упростим результаты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $16$ в степень $2$ .

$c = \sqrt{256 + {(33)}^{2} - 2 \cdot 16 \cdot (33 \cos (3))}$

Этап 4.2

Возведем $33$ в степень $2$ .

$c = \sqrt{256 + 1089 - 2 \cdot 16 \cdot (33 \cos (3))}$

Этап 4.3

Умножим $- 2 \cdot 16 \cdot 33$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $- 2$ на $16$ .

$c = \sqrt{256 + 1089 - 32 \cdot (33 \cos (3))}$

Этап 4.3.2

Умножим $- 32$ на $33$ .

$c = \sqrt{256 + 1089 - 1056 \cos (3)}$

Этап 4.4

Найдем значение $\cos (3)$ .

$c = \sqrt{256 + 1089 - 1056 \cdot 0.99862953}$

Этап 4.5

Умножим $- 1056$ на $0.99862953$ .

$c = \sqrt{256 + 1089 - 1054.5527887}$

Этап 4.6

Добавим $256$ и $1089$ .

$c = \sqrt{1345 - 1054.5527887}$

Этап 4.7

Вычтем $1054.5527887$ из $1345$ .

$c = \sqrt{290.44721129}$

Этап 4.8

Найдем значение корня.

$c = 17.04251188$

Этап 5

Теорема синусов основана на пропорциональности сторон и углов в треугольниках. Закон гласит, что для углов непрямого треугольника стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 6

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $A$ .

$\frac{\sin (A)}{16} = \frac{\sin (3)}{17.04251188}$

Этап 7

Решим уравнение относительно $A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим обе части уравнения на $16$ .

$16 \frac{\sin (A)}{16} = 16 \frac{\sin (3)}{17.04251188}$

Этап 7.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$16 \frac{\sin (A)}{16} = 16 \frac{\sin (3)}{17.04251188}$

Этап 7.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (A) = 16 \frac{\sin (3)}{17.04251188}$

Этап 7.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Упростим $16 \frac{\sin (3)}{17.04251188}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Найдем значение $\sin (3)$ .

$\sin (A) = 16 (\frac{0.05233595}{17.04251188})$

Этап 7.2.2.1.2

Разделим $0.05233595$ на $17.04251188$ .

$\sin (A) = 16 \cdot 0.0030709$

Этап 7.2.2.1.3

Умножим $16$ на $0.0030709$ .

$\sin (A) = 0.04913449$

Этап 7.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $A$ из синуса.

$A = \arcsin (0.04913449)$

Этап 7.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Найдем значение $\arcsin (0.04913449)$ .

$A = 2.81633345$

Этап 7.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение во втором квадранте.

$A = 180 - 2.81633345$

Этап 7.6

Вычтем $2.81633345$ из $180$ .

$A = 177.18366654$

Этап 7.7

Решение уравнения $A = 2.81633345$ .

$A = 2.81633345, 177.18366654$

Этап 7.8

Исключим недопустимый угол.

$A = 2.81633345$

Этап 8

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$2.81633345 + 3 + B = 180$

Этап 9

Решим уравнение относительно $B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $2.81633345$ и $3$ .

$5.81633345 + B = 180$

Этап 9.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вычтем $5.81633345$ из обеих частей уравнения.

$B = 180 - 5.81633345$

Этап 9.2.2

Вычтем $5.81633345$ из $180$ .

$B = 174.18366654$

Этап 10

Это результаты для всех углов и сторон данного треугольника.

$A = 2.81633345$

$B = 174.18366654$

$C = 3$

$a = 16$

$b = 33$

$c = 17.04251188$