Тригонометрия Примеры

$B = 85$ , $C = 15$ , $b = 40$

Этап 1

Теорема синусов основана на пропорциональности сторон и углов в треугольниках. Закон гласит, что для углов непрямого треугольника стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 2

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $c$ .

$\frac{\sin (15)}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Этап 3

Решим уравнение относительно $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Точное значение $\sin (15)$ : $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Разделим $15$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\frac{\sin (45 - 30)}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Этап 3.1.1.2

Выделим отрицательную часть.

$\frac{\sin (45 - (30))}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Этап 3.1.1.3

Применим формулу для разности углов.

$\frac{\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Этап 3.1.1.4

Точное значение $\sin (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Этап 3.1.1.5

Точное значение $\cos (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Этап 3.1.1.6

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Этап 3.1.1.7

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Этап 3.1.1.8

Упростим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.8.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.8.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Этап 3.1.1.8.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Этап 3.1.1.8.1.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Этап 3.1.1.8.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Этап 3.1.1.8.1.2

Умножим $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.8.1.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Этап 3.1.1.8.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Этап 3.1.1.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Этап 3.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Этап 3.1.3

Умножим $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ на $\frac{1}{c}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Этап 3.1.4

Найдем значение $\sin (85)$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 c} = \frac{0.99619469}{40}$

Этап 3.1.5

Разделим $0.99619469$ на $40$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 c} = 0.02490486$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$4 c, 1$

Этап 3.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$4 c$

Этап 3.3

Каждый член в $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 c} = 0.02490486$ умножим на $4 c$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 c} = 0.02490486$ на $4 c$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 c} (4 c) = 0.02490486 (4 c)$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 c} c = 0.02490486 (4 c)$

Этап 3.3.2.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 c$ .

$4 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 (c)} c = 0.02490486 (4 c)$

Этап 3.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$4 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 c} c = 0.02490486 (4 c)$

Этап 3.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{c} c = 0.02490486 (4 c)$

Этап 3.3.2.3

Сократим общий множитель $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{c} c = 0.02490486 (4 c)$

Этап 3.3.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{6} - \sqrt{2} = 0.02490486 (4 c)$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Умножим $4$ на $0.02490486$ .

$\sqrt{6} - \sqrt{2} = 0.09961946 c$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $0.09961946 c = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ .

$0.09961946 c = \sqrt{6} - \sqrt{2}$

Этап 3.4.2

Разделим каждый член $0.09961946 c = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ на $0.09961946$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разделим каждый член $0.09961946 c = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ на $0.09961946$ .

$\frac{0.09961946 c}{0.09961946} = \frac{\sqrt{6}}{0.09961946} + \frac{- \sqrt{2}}{0.09961946}$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Сократим общий множитель $0.09961946$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.09961946 c}{0.09961946} = \frac{\sqrt{6}}{0.09961946} + \frac{- \sqrt{2}}{0.09961946}$

Этап 3.4.2.2.1.2

Разделим $c$ на $1$ .

$c = \frac{\sqrt{6}}{0.09961946} + \frac{- \sqrt{2}}{0.09961946}$

Этап 3.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1.1

Найдем значение корня.

$c = \frac{2.44948974}{0.09961946} + \frac{- \sqrt{2}}{0.09961946}$

Этап 3.4.2.3.1.2

Разделим $2.44948974$ на $0.09961946$ .

$c = 24.58846395 + \frac{- \sqrt{2}}{0.09961946}$

Этап 3.4.2.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$c = 24.58846395 - \frac{\sqrt{2}}{0.09961946}$

Этап 3.4.2.3.1.4

Найдем значение корня.

$c = 24.58846395 - \frac{1.41421356}{0.09961946}$

Этап 3.4.2.3.1.5

Разделим $1.41421356$ на $0.09961946$ .

$c = 24.58846395 - 1 \cdot 14.19615628$

Этап 3.4.2.3.1.6

Умножим $- 1$ на $14.19615628$ .

$c = 24.58846395 - 14.19615628$

Этап 3.4.2.3.2

Вычтем $14.19615628$ из $24.58846395$ .

$c = 10.39230767$

Этап 4

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$A + 15 + 85 = 180$

Этап 5

Решим уравнение относительно $A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $15$ и $85$ .

$A + 100 = 180$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $A$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $100$ из обеих частей уравнения.

$A = 180 - 100$

Этап 5.2.2

Вычтем $100$ из $180$ .

$A = 80$

Этап 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 7

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $a$ .

$\frac{\sin (80)}{a} = \frac{\sin (85)}{40}$

Этап 8

Решим уравнение относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Найдем значение $\sin (80)$ .

$\frac{0.98480775}{a} = \frac{\sin (85)}{40}$

Этап 8.1.2

Найдем значение $\sin (85)$ .

$\frac{0.98480775}{a} = \frac{0.99619469}{40}$

Этап 8.1.3

Разделим $0.99619469$ на $40$ .

$\frac{0.98480775}{a} = 0.02490486$

Этап 8.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$a, 1$

Этап 8.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$a$

Этап 8.3

Каждый член в $\frac{0.98480775}{a} = 0.02490486$ умножим на $a$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим каждый член $\frac{0.98480775}{a} = 0.02490486$ на $a$ .

$\frac{0.98480775}{a} a = 0.02490486 a$

Этап 8.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Сократим общий множитель $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.98480775}{a} a = 0.02490486 a$

Этап 8.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$0.98480775 = 0.02490486 a$

Этап 8.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Перепишем уравнение в виде $0.02490486 a = 0.98480775$ .

$0.02490486 a = 0.98480775$

Этап 8.4.2

Разделим каждый член $0.02490486 a = 0.98480775$ на $0.02490486$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Разделим каждый член $0.02490486 a = 0.98480775$ на $0.02490486$ .

$\frac{0.02490486 a}{0.02490486} = \frac{0.98480775}{0.02490486}$

Этап 8.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.2.1

Сократим общий множитель $0.02490486$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.02490486 a}{0.02490486} = \frac{0.98480775}{0.02490486}$

Этап 8.4.2.2.1.2

Разделим $a$ на $1$ .

$a = \frac{0.98480775}{0.02490486}$

Этап 8.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.3.1

Разделим $0.98480775$ на $0.02490486$ .

$a = 39.54278234$

Этап 9

Это результаты для всех углов и сторон данного треугольника.

$A = 80$

$B = 85$

$C = 15$

$a = 39.54278234$

$b = 40$

$c = 10.39230767$