Тригонометрия Примеры

$(- 6, \frac{3 π}{2})$

Этап 1

Чтобы найти $\sin (θ)$ угла между осью x и прямой, соединяющей точки $(0, 0)$ и $(- 6, \frac{3 π}{2})$ , нарисуем треугольник с вершинами в точках $(0, 0)$ , $(- 6, 0)$ и $(- 6, \frac{3 π}{2})$ .

Противоположное: $\frac{3 π}{2}$

Смежный: $- 6$

Этап 2

Найдем гипотенузу, используя теорему Пифагора $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$\sqrt{36 + {(\frac{3 π}{2})}^{2}}$

Этап 2.2

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило умножения к $\frac{3 π}{2}$ .

$\sqrt{36 + \frac{{(3 π)}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 2.2.2

Применим правило умножения к $3 π$ .

$\sqrt{36 + \frac{3^{2} π^{2}}{2^{2}}}$

Этап 2.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{36 + \frac{9 π^{2}}{2^{2}}}$

Этап 2.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{36 + \frac{9 π^{2}}{4}}$

Этап 2.5

Чтобы записать $36$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{36 \cdot \frac{4}{4} + \frac{9 π^{2}}{4}}$

Этап 2.6

Объединим $36$ и $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{36 \cdot 4}{4} + \frac{9 π^{2}}{4}}$

Этап 2.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{36 \cdot 4 + 9 π^{2}}{4}}$

Этап 2.7.2

Умножим $36$ на $4$ .

$\sqrt{\frac{144 + 9 π^{2}}{4}}$

Этап 2.8

Перепишем $\sqrt{\frac{144 + 9 π^{2}}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{144 + 9 π^{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{144 + 9 π^{2}}}{\sqrt{4}}$

Этап 2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Перепишем $144 + 9 π^{2}$ в виде $3^{2} (16 + π^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1.1

Вынесем множитель $9$ из $144$ .

$\frac{\sqrt{9 (16) + 9 π^{2}}}{\sqrt{4}}$

Этап 2.9.1.2

Вынесем множитель $9$ из $9 π^{2}$ .

$\frac{\sqrt{9 (16) + 9 (π^{2})}}{\sqrt{4}}$

Этап 2.9.1.3

Вынесем множитель $9$ из $9 (16) + 9 (π^{2})$ .

$\frac{\sqrt{9 (16 + π^{2})}}{\sqrt{4}}$

Этап 2.9.1.4

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} (16 + π^{2})}}{\sqrt{4}}$

Этап 2.9.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{3 \sqrt{16 + π^{2}}}{\sqrt{4}}$

Этап 2.10

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{16 + π^{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 2.10.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{3 \sqrt{16 + π^{2}}}{2}$

Этап 3

$\sin (θ) = \frac{Противоположные}{Гипотенуза}$ , следовательно $\sin (θ) = \frac{\frac{3 π}{2}}{\frac{3 \sqrt{16 + π^{2}}}{2}}$ .

$\frac{\frac{3 π}{2}}{\frac{3 \sqrt{16 + π^{2}}}{2}}$

Этап 4

Упростим $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sin (θ) = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{2}{3 \sqrt{16 + π^{2}}}$

Этап 4.2

Объединим.

$\sin (θ) = \frac{3 π \cdot 2}{2 (3 \sqrt{16 + π^{2}})}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сократим общий множитель.

$\sin (θ) = \frac{3 π \cdot 2}{2 (3 \sqrt{16 + π^{2}})}$

Этап 4.3.2

Перепишем это выражение.

$\sin (θ) = \frac{π \cdot 2}{2 (\sqrt{16 + π^{2}})}$

Этап 4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (θ) = \frac{π \cdot 2}{2 \sqrt{16 + π^{2}}}$

Этап 4.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (θ) = \frac{π}{\sqrt{16 + π^{2}}}$

Этап 4.5

Умножим $\frac{π}{\sqrt{16 + π^{2}}}$ на $\frac{\sqrt{16 + π^{2}}}{\sqrt{16 + π^{2}}}$ .

$\sin (θ) = \frac{π}{\sqrt{16 + π^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{16 + π^{2}}}{\sqrt{16 + π^{2}}}$

Этап 4.6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим $\frac{π}{\sqrt{16 + π^{2}}}$ на $\frac{\sqrt{16 + π^{2}}}{\sqrt{16 + π^{2}}}$ .

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{16 + π^{2}}}{\sqrt{16 + π^{2}} \sqrt{16 + π^{2}}}$

Этап 4.6.2

Возведем $\sqrt{16 + π^{2}}$ в степень $1$ .

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{16 + π^{2}}}{\sqrt{16 + π^{2}} \sqrt{16 + π^{2}}}$

Этап 4.6.3

Возведем $\sqrt{16 + π^{2}}$ в степень $1$ .

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{16 + π^{2}}}{\sqrt{16 + π^{2}} \sqrt{16 + π^{2}}}$

Этап 4.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{16 + π^{2}}}{{\sqrt{16 + π^{2}}}^{1 + 1}}$

Этап 4.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{16 + π^{2}}}{{\sqrt{16 + π^{2}}}^{2}}$

Этап 4.6.6

Перепишем ${\sqrt{16 + π^{2}}}^{2}$ в виде $16 + π^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{16 + π^{2}}$ в виде ${(16 + π^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{16 + π^{2}}}{{({(16 + π^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.6.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{16 + π^{2}}}{{(16 + π^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.6.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{16 + π^{2}}}{{(16 + π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.6.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{16 + π^{2}}}{{(16 + π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.6.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{16 + π^{2}}}{16 + π^{2}}$

Этап 4.6.6.5

Упростим.

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{16 + π^{2}}}{16 + π^{2}}$

Этап 5

Аппроксимируем результат.

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{16 + π^{2}}}{16 + π^{2}} \approx 0.61766782$