Тригонометрия Примеры

$\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Этап 1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Этап 2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Этап 3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}$

Этап 6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}$

Этап 6.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}$

Этап 7

Умножим $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ на $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$\sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})}$

Этап 8

Умножим $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ на $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}$

Этап 9

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}$

Этап 10

Упростим.

$\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Этап 11

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Этап 12

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Этап 12.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Этап 13

Объединим $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ и $\sqrt{2}$ .

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Этап 14

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Запишем $2$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\sqrt{\frac{2}{1} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Этап 14.2

Умножим $\frac{2}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Этап 14.3

Умножим $\frac{2}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Этап 14.4

Запишем $- \sqrt{2}$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2}}{1} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Этап 14.5

Умножим $\frac{- \sqrt{2}}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2}}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Этап 14.6

Умножим $\frac{- \sqrt{2}}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2} \cdot 2}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Этап 15

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2 - \sqrt{2} \cdot 2 - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Этап 16

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\sqrt{\frac{4 - \sqrt{2} \cdot 2 - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Этап 16.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Этап 16.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 1 \cdot 2 - - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Этап 16.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 - - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Этап 16.5

Умножим $- - \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 + 1 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Этап 16.5.2

Умножим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Этап 16.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Этап 16.7

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}$

Этап 16.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.8.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}$

Этап 16.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}$

Этап 16.8.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + 2}{2}}$

Этап 17

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Добавим $4$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{6 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}}{2}}$

Этап 17.2

Вычтем $2 \sqrt{2}$ из $- 2 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{\frac{6 - 4 \sqrt{2}}{2}}$

Этап 17.3

Сократим общий множитель $6 - 4 \sqrt{2}$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 3 - 4 \sqrt{2}}{2}}$

Этап 17.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 2 (- 2 \sqrt{2})}{2}}$

Этап 17.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (3) + 2 (- 2 \sqrt{2})$ .

$\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2}}$

Этап 17.3.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2 (1)}}$

Этап 17.3.4.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}}$

Этап 17.3.4.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{1}}$

Этап 17.3.4.4

Разделим $3 - 2 \sqrt{2}$ на $1$ .

$\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

Этап 18

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

Десятичная форма:

$0.41421356 \dots$