Тригонометрия Примеры

$\sin (2 u)$

Этап 1

Хороший способ развертывания $\sin (2 u)$ — применение формулы Муавра $(r {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n} = r^{n} (\cos (n x) + i \cdot \sin (n x)))$ . Если $r = 1$ , $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ .

$\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$

Этап 2

Развернем правую часть $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ , используя бином Ньютона.

Развернуть: ${(\cos (u) + i \cdot \sin (u))}^{2}$

Этап 3

Перепишем ${(\cos (u) + i \sin (u))}^{2}$ в виде $(\cos (u) + i \sin (u)) (\cos (u) + i \sin (u))$ .

$(\cos (u) + i \sin (u)) (\cos (u) + i \sin (u))$

Этап 4

Развернем $(\cos (u) + i \sin (u)) (\cos (u) + i \sin (u))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (u) (\cos (u) + i \sin (u)) + i \sin (u) (\cos (u) + i \sin (u))$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (u) \cos (u) + \cos (u) (i \sin (u)) + i \sin (u) (\cos (u) + i \sin (u))$

Этап 4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (u) \cos (u) + \cos (u) (i \sin (u)) + i \sin (u) \cos (u) + i \sin (u) (i \sin (u))$

Этап 5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим $\cos (u) \cos (u)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Возведем $\cos (u)$ в степень $1$ .

$\cos^{1} (u) \cos (u) + \cos (u) (i \sin (u)) + i \sin (u) \cos (u) + i \sin (u) (i \sin (u))$

Этап 5.1.1.2

Возведем $\cos (u)$ в степень $1$ .

$\cos^{1} (u) \cos^{1} (u) + \cos (u) (i \sin (u)) + i \sin (u) \cos (u) + i \sin (u) (i \sin (u))$

Этап 5.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\cos (u)}^{1 + 1} + \cos (u) (i \sin (u)) + i \sin (u) \cos (u) + i \sin (u) (i \sin (u))$

Этап 5.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos^{2} (u) + \cos (u) (i \sin (u)) + i \sin (u) \cos (u) + i \sin (u) (i \sin (u))$

Этап 5.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\cos^{2} (u) + i \cos (u) \sin (u) + i \sin (u) \cos (u) + i \sin (u) (i \sin (u))$

Этап 5.1.3

Умножим $i \sin (u) (i \sin (u))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\cos^{2} (u) + i \cos (u) \sin (u) + i \sin (u) \cos (u) + i^{1} i \sin (u) \sin (u)$

Этап 5.1.3.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\cos^{2} (u) + i \cos (u) \sin (u) + i \sin (u) \cos (u) + i^{1} i^{1} \sin (u) \sin (u)$

Этап 5.1.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos^{2} (u) + i \cos (u) \sin (u) + i \sin (u) \cos (u) + i^{1 + 1} \sin (u) \sin (u)$

Этап 5.1.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos^{2} (u) + i \cos (u) \sin (u) + i \sin (u) \cos (u) + i^{2} \sin (u) \sin (u)$

Этап 5.1.3.5

Возведем $\sin (u)$ в степень $1$ .

$\cos^{2} (u) + i \cos (u) \sin (u) + i \sin (u) \cos (u) + i^{2} (\sin^{1} (u) \sin (u))$

Этап 5.1.3.6

Возведем $\sin (u)$ в степень $1$ .

$\cos^{2} (u) + i \cos (u) \sin (u) + i \sin (u) \cos (u) + i^{2} (\sin^{1} (u) \sin^{1} (u))$

Этап 5.1.3.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos^{2} (u) + i \cos (u) \sin (u) + i \sin (u) \cos (u) + i^{2} {\sin (u)}^{1 + 1}$

Этап 5.1.3.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos^{2} (u) + i \cos (u) \sin (u) + i \sin (u) \cos (u) + i^{2} \sin^{2} (u)$

Этап 5.1.4

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\cos^{2} (u) + i \cos (u) \sin (u) + i \sin (u) \cos (u) - 1 \sin^{2} (u)$

Этап 5.1.5

Перепишем $- 1 \sin^{2} (u)$ в виде $- \sin^{2} (u)$ .

$\cos^{2} (u) + i \cos (u) \sin (u) + i \sin (u) \cos (u) - \sin^{2} (u)$

Этап 5.2

Изменим порядок множителей в $i \sin (u) \cos (u)$ .

$\cos^{2} (u) + i \cos (u) \sin (u) + i \cos (u) \sin (u) - \sin^{2} (u)$

Этап 5.3

Добавим $i \cos (u) \sin (u)$ и $i \cos (u) \sin (u)$ .

$\cos^{2} (u) + 2 i \cos (u) \sin (u) - \sin^{2} (u)$

Этап 6

Перенесем $- \sin^{2} (u)$ .

$\cos^{2} (u) - \sin^{2} (u) + 2 i \cos (u) \sin (u)$

Этап 7

Применим формулу двойного угла для косинуса.

$\cos (2 u) + 2 i \cos (u) \sin (u)$

Этап 8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Добавим круглые скобки.

$\cos (2 u) + 2 i (\cos (u) \sin (u))$

Этап 8.2

Изменим порядок $2 i$ и $\cos (u) \sin (u)$ .

$\cos (2 u) + \cos (u) \sin (u) (2 i)$

Этап 8.3

Добавим круглые скобки.

$\cos (2 u) + \cos (u) (\sin (u) \cdot 2) i$

Этап 8.4

Изменим порядок $\cos (u)$ и $\sin (u) \cdot 2$ .

$\cos (2 u) + \sin (u) \cdot 2 \cos (u) i$

Этап 8.5

Изменим порядок $\sin (u)$ и $2$ .

$\cos (2 u) + 2 \cdot \sin (u) \cos (u) i$

Этап 8.6

Применим формулу двойного угла для синуса.

$\cos (2 u) + \sin (2 u) i$

Этап 9

Изменим порядок множителей в $\cos (2 u) + \sin (2 u) i$ .

$\cos (2 u) + i \sin (2 u)$

Этап 10

Вынесем выражения с мнимой частью, которые равны $\sin (2 u)$ . Избавимся от мнимого числа $i$ .

$\sin (2 u) = 2 \sin (u) \cos (u)$