Тригонометрия Примеры

$\sin (x) = \frac{8}{9}$ , $\cos (2 x)$

Этап 1

Воспользуемся определением синуса, чтобы найти известные стороны прямоугольного треугольника, вписанного в единичную окружность. Квадрант определяет знак каждого значения.

$\sin (x) = \frac{противоположные}{гипотенуза}$

Этап 2

Найдем прилежащую сторону треугольника в единичной окружности. Поскольку гипотенуза и противолежащая сторона известны, используем теорему Пифагора, чтобы найти оставшуюся сторону.

$Смежные = \sqrt{{гипотенуза}^{2} - {противоположные}^{2}}$

Этап 3

Заменим известные значения в уравнении.

$Смежные = \sqrt{{(9)}^{2} - {(8)}^{2}}$

Этап 4

Упростим подкоренное выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $9$ в степень $2$ .

Смежный $= \sqrt{81 - {(8)}^{2}}$

Этап 4.2

Возведем $8$ в степень $2$ .

Смежный $= \sqrt{81 - 1 \cdot 64}$

Этап 4.3

Умножим $- 1$ на $64$ .

Смежный $= \sqrt{81 - 64}$

Этап 4.4

Вычтем $64$ из $81$ .

Смежный $= \sqrt{17}$

Этап 5

Воспользуемся определением косинуса, чтобы найти значение $\cos (x)$ .

$\cos (x) = \frac{смежные}{гипотенуза}$

Этап 6

Подставим известные значения.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{17}}{9}$

Этап 7

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1$

Этап 8

Воспользуемся определением $c o s$ , чтобы найти значение $\cos (x)$ . В данном случае $\cos (x) = \frac{\sqrt{17}}{9}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{17}}{9}$

Этап 9

Подставим значения в $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$\cos (2 x) = 2 {(\frac{\sqrt{17}}{9})}^{2} - 1$

Этап 10

Найдем значение $2 {(\frac{\sqrt{17}}{9})}^{2} - 1$ , чтобы найти $\cos (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{17}}{9}$ .

$\cos (2 x) = 2 (\frac{{\sqrt{17}}^{2}}{9^{2}}) - 1$

Этап 10.1.2

Перепишем ${\sqrt{17}}^{2}$ в виде $17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{17}$ в виде $17^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (2 x) = 2 (\frac{{(17^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9^{2}}) - 1$

Этап 10.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (2 x) = 2 (\frac{17^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9^{2}}) - 1$

Этап 10.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\cos (2 x) = 2 (\frac{17^{\frac{2}{2}}}{9^{2}}) - 1$

Этап 10.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\cos (2 x) = 2 (\frac{17^{\frac{2}{2}}}{9^{2}}) - 1$

Этап 10.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\cos (2 x) = 2 (\frac{17}{9^{2}}) - 1$

Этап 10.1.2.5

Найдем экспоненту.

$\cos (2 x) = 2 (\frac{17}{9^{2}}) - 1$

Этап 10.1.3

Возведем $9$ в степень $2$ .

$\cos (2 x) = 2 (\frac{17}{81}) - 1$

Этап 10.1.4

Умножим $2 (\frac{17}{81})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.4.1

Объединим $2$ и $\frac{17}{81}$ .

$\cos (2 x) = \frac{2 \cdot 17}{81} - 1$

Этап 10.1.4.2

Умножим $2$ на $17$ .

$\cos (2 x) = \frac{34}{81} - 1$

Этап 10.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{81}{81}$ .

$\cos (2 x) = \frac{34}{81} - 1 \cdot \frac{81}{81}$

Этап 10.3

Объединим $- 1$ и $\frac{81}{81}$ .

$\cos (2 x) = \frac{34}{81} + \frac{- 1 \cdot 81}{81}$

Этап 10.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\cos (2 x) = \frac{34 - 1 \cdot 81}{81}$

Этап 10.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Умножим $- 1$ на $81$ .

$\cos (2 x) = \frac{34 - 81}{81}$

Этап 10.5.2

Вычтем $81$ из $34$ .

$\cos (2 x) = \frac{- 47}{81}$

Этап 10.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (2 x) = - \frac{47}{81}$