Тригонометрия Примеры

$\cos (4 x)$

Этап 1

Хороший способ развертывания $\cos (4 x)$ — применение формулы Муавра $(r {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n} = r^{n} (\cos (n x) + i \cdot \sin (n x)))$ . Если $r = 1$ , $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ .

$\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$

Этап 2

Развернем правую часть $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ , используя бином Ньютона.

Развернуть: ${(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{4}$

Этап 3

Воспользуемся бином Ньютона.

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) (i \sin (x)) + 6 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{2} + 4 \cos (x) {(i \sin (x))}^{3} + {(i \sin (x))}^{4}$

Этап 4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим правило умножения к $i \sin (x)$ .

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) + 6 \cos^{2} (x) (i^{2} \sin^{2} (x)) + 4 \cos (x) {(i \sin (x))}^{3} + {(i \sin (x))}^{4}$

Этап 4.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) + 6 \cdot i^{2} \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + 4 \cos (x) {(i \sin (x))}^{3} + {(i \sin (x))}^{4}$

Этап 4.1.3

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) + 6 \cdot - 1 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + 4 \cos (x) {(i \sin (x))}^{3} + {(i \sin (x))}^{4}$

Этап 4.1.4

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + 4 \cos (x) {(i \sin (x))}^{3} + {(i \sin (x))}^{4}$

Этап 4.1.5

Применим правило умножения к $i \sin (x)$ .

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + 4 \cos (x) (i^{3} \sin^{3} (x)) + {(i \sin (x))}^{4}$

Этап 4.1.6

Вынесем $i^{2}$ за скобки.

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + 4 \cos (x) (i^{2} \cdot i \sin^{3} (x)) + {(i \sin (x))}^{4}$

Этап 4.1.7

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + 4 \cos (x) (- 1 \cdot i \sin^{3} (x)) + {(i \sin (x))}^{4}$

Этап 4.1.8

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + 4 \cos (x) (- i \sin^{3} (x)) + {(i \sin (x))}^{4}$

Этап 4.1.9

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) (i \sin^{3} (x)) + {(i \sin (x))}^{4}$

Этап 4.1.10

Применим правило умножения к $i \sin (x)$ .

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) i \sin^{3} (x) + i^{4} \sin^{4} (x)$

Этап 4.1.11

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.11.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) i \sin^{3} (x) + {(i^{2})}^{2} \sin^{4} (x)$

Этап 4.1.11.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) i \sin^{3} (x) + {(- 1)}^{2} \sin^{4} (x)$

Этап 4.1.11.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) i \sin^{3} (x) + 1 \sin^{4} (x)$

Этап 4.1.12

Умножим $\sin^{4} (x)$ на $1$ .

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) i \sin^{3} (x) + \sin^{4} (x)$

Этап 4.2

Изменим порядок множителей в $\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) i \sin^{3} (x) + \sin^{4} (x)$ .

$\cos^{4} (x) + 4 i \cos^{3} (x) \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 i \cos (x) \sin^{3} (x) + \sin^{4} (x)$

Этап 5

Вынесем выражения с мнимой частью, которые равны $\cos (4 x)$ . Избавимся от мнимого числа $i$ .

$\cos (4 x) = \cos^{4} (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \sin^{4} (x)$