Тригонометрия Примеры

${(3 \cos (115) + i \sin (115))}^{4}$

Этап 1

Воспользуемся бином Ньютона.

${(3 \cos (115))}^{4} + 4 {(3 \cos (115))}^{3} (i \sin (115)) + 6 {(3 \cos (115))}^{2} {(i \sin (115))}^{2} + 4 (3 \cos (115)) {(i \sin (115))}^{3} + {(i \sin (115))}^{4}$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило умножения к $3 \cos (115)$ .

$3^{4} \cos^{4} (115) + 4 {(3 \cos (115))}^{3} (i \sin (115)) + 6 {(3 \cos (115))}^{2} {(i \sin (115))}^{2} + 4 (3 \cos (115)) {(i \sin (115))}^{3} + {(i \sin (115))}^{4}$

Этап 2.1.2

Возведем $3$ в степень $4$ .

$81 \cos^{4} (115) + 4 {(3 \cos (115))}^{3} (i \sin (115)) + 6 {(3 \cos (115))}^{2} {(i \sin (115))}^{2} + 4 (3 \cos (115)) {(i \sin (115))}^{3} + {(i \sin (115))}^{4}$

Этап 2.1.3

Применим правило умножения к $3 \cos (115)$ .

$81 \cos^{4} (115) + 4 (3^{3} \cos^{3} (115)) (i \sin (115)) + 6 {(3 \cos (115))}^{2} {(i \sin (115))}^{2} + 4 (3 \cos (115)) {(i \sin (115))}^{3} + {(i \sin (115))}^{4}$

Этап 2.1.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$81 \cos^{4} (115) + 4 (27 \cos^{3} (115)) (i \sin (115)) + 6 {(3 \cos (115))}^{2} {(i \sin (115))}^{2} + 4 (3 \cos (115)) {(i \sin (115))}^{3} + {(i \sin (115))}^{4}$

Этап 2.1.5

Умножим $27$ на $4$ .

$81 \cos^{4} (115) + 108 \cos^{3} (115) (i \sin (115)) + 6 {(3 \cos (115))}^{2} {(i \sin (115))}^{2} + 4 (3 \cos (115)) {(i \sin (115))}^{3} + {(i \sin (115))}^{4}$

Этап 2.1.6

Применим правило умножения к $3 \cos (115)$ .

$81 \cos^{4} (115) + 108 \cos^{3} (115) i \sin (115) + 6 (3^{2} \cos^{2} (115)) {(i \sin (115))}^{2} + 4 (3 \cos (115)) {(i \sin (115))}^{3} + {(i \sin (115))}^{4}$

Этап 2.1.7

Возведем $3$ в степень $2$ .

$81 \cos^{4} (115) + 108 \cos^{3} (115) i \sin (115) + 6 (9 \cos^{2} (115)) {(i \sin (115))}^{2} + 4 (3 \cos (115)) {(i \sin (115))}^{3} + {(i \sin (115))}^{4}$

Этап 2.1.8

Умножим $9$ на $6$ .

$81 \cos^{4} (115) + 108 \cos^{3} (115) i \sin (115) + 54 \cos^{2} (115) {(i \sin (115))}^{2} + 4 (3 \cos (115)) {(i \sin (115))}^{3} + {(i \sin (115))}^{4}$

Этап 2.1.9

Применим правило умножения к $i \sin (115)$ .

$81 \cos^{4} (115) + 108 \cos^{3} (115) i \sin (115) + 54 \cos^{2} (115) (i^{2} \sin^{2} (115)) + 4 (3 \cos (115)) {(i \sin (115))}^{3} + {(i \sin (115))}^{4}$

Этап 2.1.10

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$81 \cos^{4} (115) + 108 \cos^{3} (115) i \sin (115) + 54 \cos^{2} (115) (- 1 \sin^{2} (115)) + 4 (3 \cos (115)) {(i \sin (115))}^{3} + {(i \sin (115))}^{4}$

Этап 2.1.11

Перепишем $- 1 \sin^{2} (115)$ в виде $- \sin^{2} (115)$ .

$81 \cos^{4} (115) + 108 \cos^{3} (115) i \sin (115) + 54 \cos^{2} (115) (- \sin^{2} (115)) + 4 (3 \cos (115)) {(i \sin (115))}^{3} + {(i \sin (115))}^{4}$

Этап 2.1.12

Умножим $- 1$ на $54$ .

$81 \cos^{4} (115) + 108 \cos^{3} (115) i \sin (115) - 54 \cos^{2} (115) \sin^{2} (115) + 4 (3 \cos (115)) {(i \sin (115))}^{3} + {(i \sin (115))}^{4}$

Этап 2.1.13

Умножим $3$ на $4$ .

$81 \cos^{4} (115) + 108 \cos^{3} (115) i \sin (115) - 54 \cos^{2} (115) \sin^{2} (115) + 12 \cos (115) {(i \sin (115))}^{3} + {(i \sin (115))}^{4}$

Этап 2.1.14

Применим правило умножения к $i \sin (115)$ .

$81 \cos^{4} (115) + 108 \cos^{3} (115) i \sin (115) - 54 \cos^{2} (115) \sin^{2} (115) + 12 \cos (115) (i^{3} \sin^{3} (115)) + {(i \sin (115))}^{4}$

Этап 2.1.15

Вынесем $i^{2}$ за скобки.

$81 \cos^{4} (115) + 108 \cos^{3} (115) i \sin (115) - 54 \cos^{2} (115) \sin^{2} (115) + 12 \cos (115) (i^{2} \cdot i \sin^{3} (115)) + {(i \sin (115))}^{4}$

Этап 2.1.16

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$81 \cos^{4} (115) + 108 \cos^{3} (115) i \sin (115) - 54 \cos^{2} (115) \sin^{2} (115) + 12 \cos (115) (- 1 \cdot i \sin^{3} (115)) + {(i \sin (115))}^{4}$

Этап 2.1.17

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$81 \cos^{4} (115) + 108 \cos^{3} (115) i \sin (115) - 54 \cos^{2} (115) \sin^{2} (115) + 12 \cos (115) (- i \sin^{3} (115)) + {(i \sin (115))}^{4}$

Этап 2.1.18

Умножим $- 1$ на $12$ .

$81 \cos^{4} (115) + 108 \cos^{3} (115) i \sin (115) - 54 \cos^{2} (115) \sin^{2} (115) - 12 \cos (115) (i \sin^{3} (115)) + {(i \sin (115))}^{4}$

Этап 2.1.19

Применим правило умножения к $i \sin (115)$ .

$81 \cos^{4} (115) + 108 \cos^{3} (115) i \sin (115) - 54 \cos^{2} (115) \sin^{2} (115) - 12 \cos (115) i \sin^{3} (115) + i^{4} \sin^{4} (115)$

Этап 2.1.20

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.20.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$81 \cos^{4} (115) + 108 \cos^{3} (115) i \sin (115) - 54 \cos^{2} (115) \sin^{2} (115) - 12 \cos (115) i \sin^{3} (115) + {(i^{2})}^{2} \sin^{4} (115)$

Этап 2.1.20.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$81 \cos^{4} (115) + 108 \cos^{3} (115) i \sin (115) - 54 \cos^{2} (115) \sin^{2} (115) - 12 \cos (115) i \sin^{3} (115) + {(- 1)}^{2} \sin^{4} (115)$

Этап 2.1.20.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$81 \cos^{4} (115) + 108 \cos^{3} (115) i \sin (115) - 54 \cos^{2} (115) \sin^{2} (115) - 12 \cos (115) i \sin^{3} (115) + 1 \sin^{4} (115)$

Этап 2.1.21

Умножим $\sin^{4} (115)$ на $1$ .

$81 \cos^{4} (115) + 108 \cos^{3} (115) i \sin (115) - 54 \cos^{2} (115) \sin^{2} (115) - 12 \cos (115) i \sin^{3} (115) + \sin^{4} (115)$

Этап 2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Изменим порядок множителей в $81 \cos^{4} (115) + 108 \cos^{3} (115) i \sin (115) - 54 \cos^{2} (115) \sin^{2} (115) - 12 \cos (115) i \sin^{3} (115) + \sin^{4} (115)$ .

$81 \cos^{4} (115) + 108 i \cos^{3} (115) \sin (115) - 54 \cos^{2} (115) \sin^{2} (115) - 12 i \cos (115) \sin^{3} (115) + \sin^{4} (115)$

Этап 2.2.2

Изменим порядок $81 \cos^{4} (115) + 108 i \cos^{3} (115) \sin (115)$ и $- 54 \cos^{2} (115) \sin^{2} (115)$ .

$- 54 \cos^{2} (115) \sin^{2} (115) + 81 \cos^{4} (115) + 108 i \cos^{3} (115) \sin (115) - 12 i \cos (115) \sin^{3} (115) + \sin^{4} (115)$

Этап 2.2.3

Изменим порядок $- 54 \cos^{2} (115) \sin^{2} (115) + 81 \cos^{4} (115) + 108 i \cos^{3} (115) \sin (115) - 12 i \cos (115) \sin^{3} (115)$ и $\sin^{4} (115)$ .

$\sin^{4} (115) - 54 \cos^{2} (115) \sin^{2} (115) + 81 \cos^{4} (115) + 108 i \cos^{3} (115) \sin (115) - 12 i \cos (115) \sin^{3} (115)$