Тригонометрия Примеры

$i^{- 15}$

Этап 1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{i^{15}}$

Этап 2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $i^{15}$ в виде ${(i^{4})}^{3} (i^{2} \cdot i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем $i^{12}$ за скобки.

$\frac{1}{i^{12} i^{3}}$

Этап 2.1.2

Перепишем $i^{12}$ в виде ${(i^{4})}^{3}$ .

$\frac{1}{{(i^{4})}^{3} i^{3}}$

Этап 2.1.3

Вынесем $i^{2}$ за скобки.

$\frac{1}{{(i^{4})}^{3} (i^{2} \cdot i)}$

Этап 2.2

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{{({(i^{2})}^{2})}^{3} (i^{2} \cdot i)}$

Этап 2.2.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{1}{{({(- 1)}^{2})}^{3} (i^{2} \cdot i)}$

Этап 2.2.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{1}{1^{3} (i^{2} \cdot i)}$

Этап 2.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{1 (i^{2} \cdot i)}$

Этап 2.4

Умножим $i^{2} \cdot i$ на $1$ .

$\frac{1}{i^{2} \cdot i}$

Этап 2.5

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{1}{- 1 \cdot i}$

Этап 2.6

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$\frac{1}{- i}$

Этап 3

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- i}$

Этап 3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{i}$

Этап 4

Умножим числитель и знаменатель $\frac{1}{i}$ на комплексно сопряженное $i$ , чтобы сделать знаменатель вещественным.

$- (\frac{1}{i} \cdot \frac{i}{i})$

Этап 5

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим.

$- \frac{1 i}{i i}$

Этап 5.2

Умножим $i$ на $1$ .

$- \frac{i}{i i}$

Этап 5.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $i$ в степень $1$ .

$- \frac{i}{i^{1} i}$

Этап 5.3.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$- \frac{i}{i^{1} i^{1}}$

Этап 5.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{i}{i^{1 + 1}}$

Этап 5.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{i}{i^{2}}$

Этап 5.3.5

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$- \frac{i}{- 1}$

Этап 6

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{i}{- 1}$ .

$- (- 1 \cdot i)$

Этап 7

Перепишем $- 1 \cdot i$ в виде $- i$ .

$- - i$

Этап 8

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 i$

Этап 9

Умножим $i$ на $1$ .

$i$

Этап 10

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 11

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 12

Подставим фактические значения $a = 0$ и $b = 1$ .

$| z | = \sqrt{1^{2}}$

Этап 13

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| z | = 1$

Этап 14

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{1}{0})$

Этап 15

Поскольку аргумент не определен и $b$ имеет положительное значение, угол точки на комплексной плоскости равен $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Этап 16

Подставим значения $θ = \frac{π}{2}$ и $| z | = 1$ .

$\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2})$