Тригонометрия Примеры

${(2 - 2 i)}^{2}$

Этап 1

Перепишем ${(2 - 2 i)}^{2}$ в виде $(2 - 2 i) (2 - 2 i)$ .

$(2 - 2 i) (2 - 2 i)$

Этап 2

Развернем $(2 - 2 i) (2 - 2 i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (2 - 2 i) - 2 i (2 - 2 i)$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cdot 2 + 2 (- 2 i) - 2 i (2 - 2 i)$

Этап 2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cdot 2 + 2 (- 2 i) - 2 i \cdot 2 - 2 i (- 2 i)$

Этап 3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 + 2 (- 2 i) - 2 i \cdot 2 - 2 i (- 2 i)$

Этап 3.1.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$4 - 4 i - 2 i \cdot 2 - 2 i (- 2 i)$

Этап 3.1.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$4 - 4 i - 4 i - 2 i (- 2 i)$

Этап 3.1.4

Умножим $- 2 i (- 2 i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$4 - 4 i - 4 i + 4 i i$

Этап 3.1.4.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$4 - 4 i - 4 i + 4 (i^{1} i)$

Этап 3.1.4.3

Возведем $i$ в степень $1$ .

$4 - 4 i - 4 i + 4 (i^{1} i^{1})$

Этап 3.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 - 4 i - 4 i + 4 i^{1 + 1}$

Этап 3.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$4 - 4 i - 4 i + 4 i^{2}$

Этап 3.1.5

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$4 - 4 i - 4 i + 4 \cdot - 1$

Этап 3.1.6

Умножим $4$ на $- 1$ .

$4 - 4 i - 4 i - 4$

Этап 3.2

Вычтем $4$ из $4$ .

$0 - 4 i - 4 i$

Этап 3.3

Вычтем $4 i$ из $0$ .

$- 4 i - 4 i$

Этап 3.4

Вычтем $4 i$ из $- 4 i$ .

$- 8 i$

Этап 4

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 5

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 6

Подставим фактические значения $a = 0$ и $b = - 8$ .

$| z | = \sqrt{{(- 8)}^{2}}$

Этап 7

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{64}$

Этап 7.2

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

Этап 7.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| z | = 8$

Этап 8

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{- 8}{0})$

Этап 9

Поскольку аргумент не определен и $b$ имеет отрицательное значение, угол точки на комплексной плоскости равен $\frac{3 π}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Этап 10

Подставим значения $θ = \frac{3 π}{2}$ и $| z | = 8$ .

$8 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$