Тригонометрия Примеры

$i^{22}$

Этап 1

Перепишем $i^{22}$ в виде ${(i^{4})}^{5} i^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем $i^{20}$ за скобки.

$i^{20} i^{2}$

Этап 1.2

Перепишем $i^{20}$ в виде ${(i^{4})}^{5}$ .

${(i^{4})}^{5} i^{2}$

Этап 2

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

${({(i^{2})}^{2})}^{5} i^{2}$

Этап 2.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

${({(- 1)}^{2})}^{5} i^{2}$

Этап 2.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1^{5} i^{2}$

Этап 3

Единица в любой степени равна единице.

$1 i^{2}$

Этап 4

Умножим $i^{2}$ на $1$ .

$i^{2}$

Этап 5

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$- 1$

Этап 6

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 7

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 8

Подставим фактические значения $a = - 1$ и $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Этап 9

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(- 1)}^{2}}$

Этап 9.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + 1}$

Этап 9.3

Добавим $0$ и $1$ .

$| z | = \sqrt{1}$

Этап 9.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$| z | = 1$

Этап 10

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{0}{- 1})$

Этап 11

Поскольку обратный тангенс $\frac{0}{- 1}$ дает угол во втором квадранте, значение угла равно $π$ .

$θ = π$

Этап 12

Подставим значения $θ = π$ и $| z | = 1$ .

$\cos (π) + i \sin (π)$