Тригонометрия Примеры

$7 i^{243} + 10 i^{986}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $i^{243}$ в виде ${(i^{4})}^{60} (i^{2} \cdot i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем $i^{240}$ за скобки.

$7 (i^{240} i^{3}) + 10 i^{986}$

Этап 1.1.2

Перепишем $i^{240}$ в виде ${(i^{4})}^{60}$ .

$7 ({(i^{4})}^{60} i^{3}) + 10 i^{986}$

Этап 1.1.3

Вынесем $i^{2}$ за скобки.

$7 ({(i^{4})}^{60} (i^{2} \cdot i)) + 10 i^{986}$

Этап 1.2

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$7 ({({(i^{2})}^{2})}^{60} (i^{2} \cdot i)) + 10 i^{986}$

Этап 1.2.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$7 ({({(- 1)}^{2})}^{60} (i^{2} \cdot i)) + 10 i^{986}$

Этап 1.2.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$7 (1^{60} (i^{2} \cdot i)) + 10 i^{986}$

Этап 1.3

Единица в любой степени равна единице.

$7 (1 (i^{2} \cdot i)) + 10 i^{986}$

Этап 1.4

Умножим $i^{2} \cdot i$ на $1$ .

$7 (i^{2} \cdot i) + 10 i^{986}$

Этап 1.5

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$7 (- 1 \cdot i) + 10 i^{986}$

Этап 1.6

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$7 (- i) + 10 i^{986}$

Этап 1.7

Умножим $- 1$ на $7$ .

$- 7 i + 10 i^{986}$

Этап 1.8

Перепишем $i^{986}$ в виде ${(i^{4})}^{246} i^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Вынесем $i^{984}$ за скобки.

$- 7 i + 10 (i^{984} i^{2})$

Этап 1.8.2

Перепишем $i^{984}$ в виде ${(i^{4})}^{246}$ .

$- 7 i + 10 ({(i^{4})}^{246} i^{2})$

Этап 1.9

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$- 7 i + 10 ({({(i^{2})}^{2})}^{246} i^{2})$

Этап 1.9.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$- 7 i + 10 ({({(- 1)}^{2})}^{246} i^{2})$

Этап 1.9.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 7 i + 10 (1^{246} i^{2})$

Этап 1.10

Единица в любой степени равна единице.

$- 7 i + 10 (1 i^{2})$

Этап 1.11

Умножим $i^{2}$ на $1$ .

$- 7 i + 10 i^{2}$

Этап 1.12

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$- 7 i + 10 \cdot - 1$

Этап 1.13

Умножим $10$ на $- 1$ .

$- 7 i - 10$

Этап 2

Изменим порядок $- 7 i$ и $- 10$ .

$- 10 - 7 i$

Этап 3

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 4

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 5

Подставим фактические значения $a = - 10$ и $b = - 7$ .

$| z | = \sqrt{{(- 7)}^{2} + {(- 10)}^{2}}$

Этап 6

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Возведем $- 7$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{49 + {(- 10)}^{2}}$

Этап 6.2

Возведем $- 10$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{49 + 100}$

Этап 6.3

Добавим $49$ и $100$ .

$| z | = \sqrt{149}$

Этап 7

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{- 7}{- 10})$

Этап 8

Поскольку обратный тангенс $\frac{- 7}{- 10}$ дает угол в третьем квадранте, значение угла равно $3.75231861$ .

$θ = 3.75231861$

Этап 9

Подставим значения $θ = 3.75231861$ и $| z | = \sqrt{149}$ .

$\sqrt{149} (\cos (3.75231861) + i \sin (3.75231861))$