Тригонометрия Примеры

- 4 - 4 i \sqrt{3} + 4 i - 4 \sqrt{3}

$- 4 - 4 i \sqrt{3} + 4 i - 4 \sqrt{3}$

Этап 1

Изменим порядок

- 4 - 4 i \sqrt{3} + 4 i

$- 4 - 4 i \sqrt{3} + 4 i$ и

- 4 \sqrt{3}

$- 4 \sqrt{3}$ .

- 4 \sqrt{3} - 4 - 4 i \sqrt{3} + 4 i

$- 4 \sqrt{3} - 4 - 4 i \sqrt{3} + 4 i$

Этап 2

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где

| z |

$| z |$ — модуль, а

θ

$θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 3

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где

z = a + b i

$z = a + b i$

Этап 4

Подставим фактические значения

a = - 4 \sqrt{3}

$a = - 4 \sqrt{3}$ и

b = - 4

$b = - 4$ .

| z | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 4 \sqrt{3})}^{2}}

$| z | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 4 \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 5

Найдем

| z |

$| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведем

- 4

$- 4$ в степень

2

$2$ .

| z | = \sqrt{16 + {(- 4 \sqrt{3})}^{2}}

$| z | = \sqrt{16 + {(- 4 \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 5.1.2

Применим правило умножения к

- 4 \sqrt{3}

$- 4 \sqrt{3}$ .

| z | = \sqrt{16 + {(- 4)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}}

$| z | = \sqrt{16 + {(- 4)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 5.1.3

Возведем

- 4

$- 4$ в степень

2

$2$ .

| z | = \sqrt{16 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}

$| z | = \sqrt{16 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

| z | = \sqrt{16 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}

$| z | = \sqrt{16 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 5.2

Перепишем

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ в виде

3

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

С помощью

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ в виде

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ .

| z | = \sqrt{16 + 16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$| z | = \sqrt{16 + 16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.2.3

Объединим

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ и

2

$2$ .

| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.2.4

Сократим общий множитель

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Сократим общий множитель.

| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.2.4.2

Перепишем это выражение.

| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3}

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3}$

| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3}

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3}$

Этап 5.2.5

Найдем экспоненту.

| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3}

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3}$

| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3}

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3}$

Этап 5.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим

16

$16$ на

3

$3$ .

| z | = \sqrt{16 + 48}

$| z | = \sqrt{16 + 48}$

Этап 5.3.2

Добавим

16

$16$ и

48

$48$ .

| z | = \sqrt{64}

$| z | = \sqrt{64}$

Этап 5.3.3

Перепишем

64

$64$ в виде

8^{2}

$8^{2}$ .

| z | = \sqrt{8^{2}}

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

Этап 5.3.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

| z | = 8

$| z | = 8$

| z | = 8

$| z | = 8$

| z | = 8

$| z | = 8$

Этап 6

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

θ = \arctan (\frac{- 4}{- 4 \sqrt{3}})

$θ = \arctan (\frac{- 4}{- 4 \sqrt{3}})$

Этап 7

Поскольку обратный тангенс

\frac{- 4}{- 4 \sqrt{3}}

$\frac{- 4}{- 4 \sqrt{3}}$ дает угол в третьем квадранте, значение угла равно

\frac{7 π}{6}

$\frac{7 π}{6}$ .

θ = \frac{7 π}{6}

$θ = \frac{7 π}{6}$

Этап 8

Подставим значения

θ = \frac{7 π}{6}

$θ = \frac{7 π}{6}$ и

| z | = 8

$| z | = 8$ .

8 (\cos (\frac{7 π}{6}) + i \sin (\frac{7 π}{6}))

$8 (\cos (\frac{7 π}{6}) + i \sin (\frac{7 π}{6}))$