Тригонометрия Примеры

$4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2 i}$

Этап 1

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 2

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 3

Подставим фактические значения $a = 4 \sqrt{2}$ и $b = - 4$ .

$| z | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(4 \sqrt{2})}^{2}}$

Этап 4

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + {(4 \sqrt{2})}^{2}}$

Этап 4.1.2

Применим правило умножения к $4 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{16 + 4^{2} {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 4.1.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16 {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 4.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Сократим общий множитель.

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.2.4.2

Перепишем это выражение.

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 2}$

Этап 4.2.5

Найдем экспоненту.

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 2}$

Этап 4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $16$ на $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 32}$

Этап 4.3.2

Добавим $16$ и $32$ .

$| z | = \sqrt{48}$

Этап 4.4

Перепишем $48$ в виде $4^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $16$ из $48$ .

$| z | = \sqrt{16 (3)}$

Этап 4.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$| z | = \sqrt{4^{2} \cdot 3}$

Этап 4.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$| z | = 4 \sqrt{3}$

Этап 5

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{- 4}{4 \sqrt{2}})$

Этап 6

Поскольку обратный тангенс $\frac{- 4}{4 \sqrt{2}}$ дает угол в четвертом квадранте, значение угла равно $- 0.6154797$ .

$θ = - 0.6154797$

Этап 7

Подставим значения $θ = - 0.6154797$ и $| z | = 4 \sqrt{3}$ .

$4 \sqrt{3} (\cos (- 0.6154797) + i \sin (- 0.6154797))$