Тригонометрия Примеры

$\sin (\frac{π}{12}) \cos (\frac{π}{12})$

Этап 1

Точное значение $\sin (\frac{π}{12})$ : $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим $\frac{π}{12}$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{12})$

Этап 1.2

Применим формулу для разности углов.

$(\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{π}{12})$

Этап 1.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{π}{12})$

Этап 1.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{π}{12})$

Этап 1.5

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{π}{12})$

Этап 1.6

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{π}{12})$

Этап 1.7

Упростим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{π}{12})$

Этап 1.7.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{π}{12})$

Этап 1.7.1.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{π}{12})$

Этап 1.7.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{π}{12})$

Этап 1.7.1.2

Умножим $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (\frac{π}{12})$

Этап 1.7.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (\frac{π}{12})$

Этап 1.7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{π}{12})$

Этап 2

Точное значение $\cos (\frac{π}{12})$ : $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим $\frac{π}{12}$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Этап 2.2

Применим формулу для разности углов $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Этап 2.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Этап 2.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Этап 2.5

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6}))$

Этап 2.6

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 2.7

Упростим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 2.7.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 2.7.1.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 2.7.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 2.7.1.2

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.2.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Этап 2.7.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})$

Этап 2.7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Этап 3

Умножим $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ на $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4 \cdot 4}$

Этап 3.2

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Развернем $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16}$

Этап 4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} - \sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16}$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Этап 4.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Этап 4.2.1.2

Умножим $6$ на $6$ .

$\frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Этап 4.2.1.3

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Этап 4.2.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{6 + \sqrt{6} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Этап 4.2.1.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{6 + \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Этап 4.2.1.6

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{6 + \sqrt{12} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Этап 4.2.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{6 + \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Этап 4.2.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{6 + \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Этап 4.2.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Этап 4.2.1.9

Умножим $- \sqrt{2} \sqrt{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.9.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Этап 4.2.1.9.2

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{12} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Этап 4.2.1.10

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.10.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Этап 4.2.1.10.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Этап 4.2.1.11

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Этап 4.2.1.12

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Этап 4.2.1.13

Умножим $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.13.1

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{16}$

Этап 4.2.1.13.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{16}$

Этап 4.2.1.13.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{16}$

Этап 4.2.1.13.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{2}}{16}$

Этап 4.2.1.14

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.14.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{16}$

Этап 4.2.1.14.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{16}$

Этап 4.2.1.14.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{16}$

Этап 4.2.1.14.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.14.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{16}$

Этап 4.2.1.14.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 2^{1}}{16}$

Этап 4.2.1.14.5

Найдем экспоненту.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 1 \cdot 2}{16}$

Этап 4.2.1.15

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 2}{16}$

Этап 4.2.2

Вычтем $2$ из $6$ .

$\frac{4 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{16}$

Этап 4.2.3

Вычтем $2 \sqrt{3}$ из $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 + 0}{16}$

Этап 4.2.4

Добавим $4$ и $0$ .

$\frac{4}{16}$

Этап 5

Сократим общий множитель $4$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 (1)}{16}$

Этап 5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}$

Этап 5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}$

Этап 5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{4}$

Десятичная форма:

$0.25$