Тригонометрия Примеры

$\tan (67.5)$

Этап 1

Представим $67.5$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на $2$ .

$\tan (\frac{135}{2})$

Этап 2

Применим формулу половинного угла для тангенса.

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{1 + \cos (135)}}$

Этап 3

Заменим $\pm$ на $+$ , поскольку тангенс принимает положительные значения в первом квадранте.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{1 + \cos (135)}}$

Этап 4

Упростим $\sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{1 + \cos (135)}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$\sqrt{\frac{1 - - \cos (45)}{1 + \cos (135)}}$

Этап 4.2

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}$

Этап 4.3

Умножим $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}$

Этап 4.3.2

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $1$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}$

Этап 4.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}$

Этап 4.6

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (45)}}$

Этап 4.7

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Этап 4.8

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Этап 4.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 4.10

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}$

Этап 4.11

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}$

Этап 4.11.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}}$

Этап 4.12

Умножим $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ на $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})}$

Этап 4.13

Умножим $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ на $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}}$

Этап 4.14

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}$

Этап 4.15

Упростим.

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Этап 4.16

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Этап 4.17

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.17.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Этап 4.17.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Этап 4.18

Объединим $\sqrt{2}$ и $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Этап 4.19

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Этап 4.19.2

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{2}$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Этап 4.19.3

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}$

Этап 4.19.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}$

Этап 4.19.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}$

Этап 4.19.4.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2}}$

Этап 4.19.5

Сократим общий множитель $2 \sqrt{2} + 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2}{2}}$

Этап 4.19.5.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1}{2}}$

Этап 4.19.5.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (\sqrt{2}) + 2 (1)$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2}}$

Этап 4.19.5.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.5.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (1)}}$

Этап 4.19.5.4.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 \cdot 1}}$

Этап 4.19.5.4.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} + 1}{1}}$

Этап 4.19.5.4.4

Разделим $\sqrt{2} + 1$ на $1$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1}$

Этап 4.20

Добавим $2$ и $1$ .

$\sqrt{3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}}$

Этап 4.21

Добавим $\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$ .

$\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

Десятичная форма:

$2.41421356 \dots$