Тригонометрия Примеры

$\sec (\frac{π}{8})$

Этап 1

Представим $\frac{π}{8}$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на $2$ .

$\sec (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Этап 2

Применим взаимно обратное тождество к $\sec (\frac{\frac{π}{4}}{2})$ .

$\frac{1}{\cos (\frac{\frac{π}{4}}{2})}$

Этап 3

Применим формулу половинного угла для косинуса $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\frac{1}{\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}}$

Этап 4

Change the $\pm$ to $+$ because secant is positive in the first quadrant.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}}$

Этап 5

Упростим $\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}$

Этап 5.1.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}$

Этап 5.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}}$

Этап 5.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}$

Этап 5.2.2

Умножим $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Умножим $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}$

Этап 5.2.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}}$

Этап 5.2.3

Перепишем $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}}$

Этап 5.2.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}}$

Этап 5.2.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}}$

Этап 5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$1 \frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}$

Этап 5.4

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}$ на $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}$

Десятичная форма:

$1.08239220 \dots$