Тригонометрия Примеры

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 8 x}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x^{2} + 8 x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x^{2} + 8 x \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} + 8 x = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \cdot x + 8 x = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $8 x$ .

$x \cdot x + x \cdot 8 = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 8$ .

$x (x + 8) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 8 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $x + 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x + 8$ к $0$ .

$x + 8 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$x = - 8$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x + 8) = 0$ верно.

$x = 0, - 8$

Этап 2.7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 8$

$- 8 < x < 0$

$x > 0$

Этап 2.8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Проверим значение на интервале $x < - 8$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 8$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 10$

Этап 2.8.1.2

Заменим $x$ на $- 10$ в исходном неравенстве.

${(- 10)}^{2} + 8 (- 10) \geq 0$

Этап 2.8.1.3

Левая часть $20$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.8.2

Проверим значение на интервале $- 8 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Выберем значение на интервале $- 8 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 2.8.2.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

${(- 4)}^{2} + 8 (- 4) \geq 0$

Этап 2.8.2.3

Левая часть $- 16$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.8.3

Проверим значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.1

Выберем значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 2.8.3.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

${(2)}^{2} + 8 (2) \geq 0$

Этап 2.8.3.3

Левая часть $20$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 8$ Истина

$- 8 < x < 0$ Ложь

$x > 0$ Истина

$x < - 8$ Истина

$- 8 < x < 0$ Ложь

$x > 0$ Истина

Этап 2.9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 8$ или $x \geq 0$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 8] \cup [0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \leq - 8, x \geq 0}$

Этап 4