Тригонометрия Примеры

$f (x) = \cos (x + 2) + 1$

Этап 1

Запишем $f (x) = \cos (x + 2) + 1$ в виде уравнения.

$y = \cos (x + 2) + 1$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \cos (y + 2) + 1$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\cos (y + 2) + 1 = x$ .

$\cos (y + 2) + 1 = x$

Этап 3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\cos (y + 2) = x - 1$

Этап 3.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из косинуса.

$y + 2 = \arccos (x - 1)$

Этап 3.4

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$y = \arccos (x - 1) - 2$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \arccos (x - 1) - 2$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \arccos (x - 1) - 2$ обратной к $f (x) = \cos (x + 2) + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\cos (x + 2) + 1)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\cos (x + 2) + 1) = \arccos ((\cos (x + 2) + 1) - 1) - 2$

Этап 5.2.3

Объединим противоположные члены в $\arccos ((\cos (x + 2) + 1) - 1) - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$f^{- 1} (\cos (x + 2) + 1) = \arccos (\cos (x + 2) + 0) - 2$

Этап 5.2.3.2

Добавим $\cos (x + 2)$ и $0$ .

$f^{- 1} (\cos (x + 2) + 1) = \arccos (\cos (x + 2)) - 2$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\arccos (x - 1) - 2)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\arccos (x - 1) - 2) = \cos ((\arccos (x - 1) - 2) + 2) + 1$

Этап 5.3.3

Объединим противоположные члены в $\cos ((\arccos (x - 1) - 2) + 2) + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f (\arccos (x - 1) - 2) = \cos (\arccos (x - 1) + 0) + 1$

Этап 5.3.3.2

Добавим $\arccos (x - 1)$ и $0$ .

$f (\arccos (x - 1) - 2) = \cos (\arccos (x - 1)) + 1$

Этап 5.3.4

Косинус и арккосинус — обратные функции.

$f (\arccos (x - 1) - 2) = x - 1 + 1$

Этап 5.3.5

Объединим противоположные члены в $x - 1 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f (\arccos (x - 1) - 2) = x + 0$

Этап 5.3.5.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\arccos (x - 1) - 2) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \arccos (x - 1) - 2$ — обратная к $f (x) = \cos (x + 2) + 1$ .

$f^{- 1} (x) = \arccos (x - 1) - 2$