Тригонометрия Примеры

$f (x) = 9 x^{2} - 1$

Этап 1

Запишем $f (x) = 9 x^{2} - 1$ в виде уравнения.

$y = 9 x^{2} - 1$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 9 y^{2} - 1$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $9 y^{2} - 1 = x$ .

$9 y^{2} - 1 = x$

Этап 3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$9 y^{2} = x + 1$

Этап 3.3

Разделим каждый член $9 y^{2} = x + 1$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $9 y^{2} = x + 1$ на $9$ .

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{x}{9} + \frac{1}{9}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{x}{9} + \frac{1}{9}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{9} + \frac{1}{9}$

Этап 3.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{9} + \frac{1}{9}}$

Этап 3.5

Упростим $\pm \sqrt{\frac{x}{9} + \frac{1}{9}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 1}{9}}$

Этап 3.5.2

Перепишем $\frac{x + 1}{9}$ в виде ${(\frac{1}{3})}^{2} (x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $x + 1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x + 1)}{9}}$

Этап 3.5.2.2

Вынесем полную степень $3^{2}$ из $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x + 1)}{3^{2} \cdot 1}}$

Этап 3.5.2.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} (x + 1)}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (x + 1)}$

Этап 3.5.3

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{x + 1}$

Этап 3.5.4

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\sqrt{x + 1}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 1}}{3}$

Этап 3.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{x + 1}}{3}$

Этап 3.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{x + 1}}{3}$

Этап 3.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{x + 1}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{x + 1}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{x + 1}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{x + 1}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{x + 1}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{x + 1}}{3}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{3}, - \frac{\sqrt{x + 1}}{3}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{3}, - \frac{\sqrt{x + 1}}{3}$ обратной к $f (x) = 9 x^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = 9 x^{2} - 1$ и $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{3}, - \frac{\sqrt{x + 1}}{3}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (x) = 9 x^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[- 1, \infty)$

Этап 5.3

Найдем область определения $\frac{\sqrt{x + 1}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x + 1}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x + 1 \geq 0$

Этап 5.3.2

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 1$

Этап 5.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- 1, \infty)$

Этап 5.4

Найдем область определения $f (x) = 9 x^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 5.5

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{3}, - \frac{\sqrt{x + 1}}{3}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = 9 x^{2} - 1$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{3}, - \frac{\sqrt{x + 1}}{3}$ , представляет область определения $f (x) = 9 x^{2} - 1$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{3}, - \frac{\sqrt{x + 1}}{3}$ — обратная к $f (x) = 9 x^{2} - 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{3}, - \frac{\sqrt{x + 1}}{3}$

Этап 6