Тригонометрия Примеры

$f (x) = 3 \sin (2 x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = 3 \sin (2 x)$ в виде уравнения.

$y = 3 \sin (2 x)$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 3 \sin (2 y)$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $3 \sin (2 y) = x$ .

$3 \sin (2 y) = x$

Этап 3.2

Разделим каждый член $3 \sin (2 y) = x$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $3 \sin (2 y) = x$ на $3$ .

$\frac{3 \sin (2 y)}{3} = \frac{x}{3}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \sin (2 y)}{3} = \frac{x}{3}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $\sin (2 y)$ на $1$ .

$\sin (2 y) = \frac{x}{3}$

Этап 3.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из синуса.

$2 y = \arcsin (\frac{x}{3})$

Этап 3.4

Разделим каждый член $2 y = \arcsin (\frac{x}{3})$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Разделим каждый член $2 y = \arcsin (\frac{x}{3})$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2}$

Этап 3.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2}$ обратной к $f (x) = 3 \sin (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (3 \sin (2 x))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 \sin (2 x)) = \frac{\arcsin (\frac{3 \sin (2 x)}{3})}{2}$

Этап 5.2.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (3 \sin (2 x)) = \frac{\arcsin (\frac{3 \sin (2 x)}{3})}{2}$

Этап 5.2.3.2

Разделим $\sin (2 x)$ на $1$ .

$f^{- 1} (3 \sin (2 x)) = \frac{\arcsin (\sin (2 x))}{2}$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2}) = 3 \sin (2 (\frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2}))$

Этап 5.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2}) = 3 \sin (2 (\frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2}))$

Этап 5.3.3.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2}) = 3 \sin (\arcsin (\frac{x}{3}))$

Этап 5.3.4

Синус и арксинус — обратные функции.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2}) = 3 (\frac{x}{3})$

Этап 5.3.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2}) = 3 (\frac{x}{3})$

Этап 5.3.5.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2}$ — обратная к $f (x) = 3 \sin (2 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2}$