Тригонометрия Примеры

$f (x) = \cos^{5} (x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = \cos^{5} (x)$ в виде уравнения.

$y = \cos^{5} (x)$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \cos^{5} (y)$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\cos^{5} (y) = x$ .

$\cos^{5} (y) = x$

Этап 3.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\cos (y) = \sqrt[5]{x}$

Этап 3.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из косинуса.

$y = \arccos (\sqrt[5]{x})$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \arccos (\sqrt[5]{x})$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \arccos (\sqrt[5]{x})$ обратной к $f (x) = \cos^{5} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\cos^{5} (x))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\cos^{5} (x)) = \arccos (\sqrt[5]{\cos^{5} (x)})$

Этап 5.2.3

Избавимся от скобок.

$f^{- 1} (\cos^{5} (x)) = \arccos (\sqrt[5]{\cos^{5} (x)})$

Этап 5.2.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} (\cos^{5} (x)) = \arccos (\cos (x))$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\arccos (\sqrt[5]{x}))$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\arccos (\sqrt[5]{x})) = \cos^{5} (\arccos (\sqrt[5]{x}))$

Этап 5.3.3

Косинус и арккосинус — обратные функции.

$f (\arccos (\sqrt[5]{x})) = {\sqrt[5]{x}}^{5}$

Этап 5.3.4

Перепишем ${\sqrt[5]{x}}^{5}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{5}}$ .

$f (\arccos (\sqrt[5]{x})) = {(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$

Этап 5.3.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\arccos (\sqrt[5]{x})) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Этап 5.3.4.3

Объединим $\frac{1}{5}$ и $5$ .

$f (\arccos (\sqrt[5]{x})) = x^{\frac{5}{5}}$

Этап 5.3.4.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\arccos (\sqrt[5]{x})) = x^{\frac{5}{5}}$

Этап 5.3.4.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\arccos (\sqrt[5]{x})) = x$

Этап 5.3.4.5

Упростим.

$f (\arccos (\sqrt[5]{x})) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \arccos (\sqrt[5]{x})$ — обратная к $f (x) = \cos^{5} (x)$ .

$f^{- 1} (x) = \arccos (\sqrt[5]{x})$