Тригонометрия Примеры

$f (x) = \frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)$ в виде уравнения.

$y = \frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{1}{3} \cdot (2 y - 3)$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{3} \cdot (2 y - 3) = x$ .

$\frac{1}{3} \cdot (2 y - 3) = x$

Этап 3.2

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \cdot (2 y - 3)) = 3 x$

Этап 3.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $3 (\frac{1}{3} \cdot (2 y - 3))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (\frac{1}{3} (2 y) + \frac{1}{3} \cdot - 3) = 3 x$

Этап 3.3.1.2

Умножим $\frac{1}{3} (2 y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} y + \frac{1}{3} \cdot - 3) = 3 x$

Этап 3.3.1.2.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и $y$ .

$3 (\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 3) = 3 x$

Этап 3.3.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$3 (\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 (- 1))) = 3 x$

Этап 3.3.1.3.2

Сократим общий множитель.

$3 (\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)) = 3 x$

Этап 3.3.1.3.3

Перепишем это выражение.

$3 (\frac{2 y}{3} - 1) = 3 x$

Этап 3.3.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \frac{2 y}{3} + 3 \cdot - 1 = 3 x$

Этап 3.3.1.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{2 y}{3} + 3 \cdot - 1 = 3 x$

Этап 3.3.1.5.2

Перепишем это выражение.

$2 y + 3 \cdot - 1 = 3 x$

Этап 3.3.1.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$2 y - 3 = 3 x$

Этап 3.4

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$2 y = 3 x + 3$

Этап 3.5

Разделим каждый член $2 y = 3 x + 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Разделим каждый член $2 y = 3 x + 3$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}$

Этап 3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}$

Этап 3.5.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}$ обратной к $f (x) = \frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{3 (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3))}{2} + \frac{3}{2}$

Этап 5.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{3 (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) + 3}{2}$

Этап 5.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{3 (\frac{1}{3} \cdot (2 x) + \frac{1}{3} \cdot - 3) + 3}{2}$

Этап 5.2.4.2

Умножим $\frac{1}{3} (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{3 (\frac{2}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 3) + 3}{2}$

Этап 5.2.4.2.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{3 (\frac{2 x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 3) + 3}{2}$

Этап 5.2.4.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{3 (\frac{2 x}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 (- 1))) + 3}{2}$

Этап 5.2.4.3.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{3 (\frac{2 x}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)) + 3}{2}$

Этап 5.2.4.3.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{3 (\frac{2 x}{3} - 1) + 3}{2}$

Этап 5.2.4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{3 (\frac{2 x}{3}) + 3 \cdot - 1 + 3}{2}$

Этап 5.2.4.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.5.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{3 (\frac{2 x}{3}) + 3 \cdot - 1 + 3}{2}$

Этап 5.2.4.5.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{2 x + 3 \cdot - 1 + 3}{2}$

Этап 5.2.4.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{2 x - 3 + 3}{2}$

Этап 5.2.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Объединим противоположные члены в $2 x - 3 + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1.1

Добавим $- 3$ и $3$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{2 x + 0}{2}$

Этап 5.2.5.1.2

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{2 x}{2}$

Этап 5.2.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{2 x}{2}$

Этап 5.2.5.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (2 (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}) - 3)$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (2 (\frac{3 x}{2}) + 2 (\frac{3}{2}) - 3)$

Этап 5.3.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (2 (\frac{3 x}{2}) + 2 (\frac{3}{2}) - 3)$

Этап 5.3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x + 2 (\frac{3}{2}) - 3)$

Этап 5.3.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x + 2 (\frac{3}{2}) - 3)$

Этап 5.3.3.3.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x + 3 - 3)$

Этап 5.3.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Объединим противоположные члены в $3 x + 3 - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1.1

Вычтем $3$ из $3$ .

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x + 0)$

Этап 5.3.4.1.2

Добавим $3 x$ и $0$ .

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

Этап 5.3.4.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (x))$

Этап 5.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

Этап 5.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}$ — обратная к $f (x) = \frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}$