Тригонометрия Примеры

$f (t) = \frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π$

Этап 1

Запишем $f (t) = \frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π$ в виде уравнения.

$y = \frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$t = \frac{1}{2} \cdot \sec (y + 2) - π$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{2} \cdot \sec (y + 2) - π = t$ .

$\frac{1}{2} \cdot \sec (y + 2) - π = t$

Этап 3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sec (y + 2)$ .

$\frac{\sec (y + 2)}{2} - π = t$

Этап 3.3

Добавим $π$ к обеим частям уравнения.

$\frac{\sec (y + 2)}{2} = t + π$

Этап 3.4

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{\sec (y + 2)}{2} = 2 (t + π)$

Этап 3.5

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\sec (y + 2)}{2} = 2 (t + π)$

Этап 3.5.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sec (y + 2) = 2 (t + π)$

Этап 3.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sec (y + 2) = 2 t + 2 π$

Этап 3.6

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $y$ из-под знака секанса.

$y + 2 = arcsec (2 t + 2 π)$

Этап 3.7

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$y = arcsec (2 t + 2 π) - 2$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (t)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (t) = arcsec (2 t + 2 π) - 2$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (t) = arcsec (2 t + 2 π) - 2$ обратной к $f (t) = \frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (t)) = t$ и $f (f^{- 1} (t)) = t$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (t))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (t))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π) = arcsec (2 (\frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π) + 2 π) - 2$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sec (t + 2)$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π) = arcsec (2 (\frac{\sec (t + 2)}{2} - π) + 2 π) - 2$

Этап 5.2.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π) = arcsec (2 (\frac{\sec (t + 2)}{2}) + 2 (- π) + 2 π) - 2$

Этап 5.2.3.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π) = arcsec (2 (\frac{\sec (t + 2)}{2}) + 2 (- π) + 2 π) - 2$

Этап 5.2.3.1.3.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π) = arcsec (\sec (t + 2) + 2 (- π) + 2 π) - 2$

Этап 5.2.3.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π) = arcsec (\sec (t + 2) - 2 π + 2 π) - 2$

Этап 5.2.3.2

Объединим противоположные члены в $\sec (t + 2) - 2 π + 2 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Добавим $- 2 π$ и $2 π$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π) = arcsec (\sec (t + 2) + 0) - 2$

Этап 5.2.3.2.2

Добавим $\sec (t + 2)$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π) = arcsec (\sec (t + 2)) - 2$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (t))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (t))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (arcsec (2 t + 2 π) - 2)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = \frac{1}{2} \cdot \sec ((arcsec (2 t + 2 π) - 2) + 2) - π$

Этап 5.3.3

Объединим противоположные члены в $\frac{1}{2} \cdot \sec ((arcsec (2 t + 2 π) - 2) + 2) - π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = \frac{1}{2} \cdot \sec (arcsec (2 t + 2 π) + 0) - π$

Этап 5.3.3.2

Добавим $arcsec (2 t + 2 π)$ и $0$ .

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = \frac{1}{2} \cdot \sec (arcsec (2 t + 2 π)) - π$

Этап 5.3.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Секанс и арксеканс — обратные функции.

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 t + 2 π) - π$

Этап 5.3.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 t) + \frac{1}{2} \cdot (2 π) - π$

Этап 5.3.4.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 t$ .

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 (t)) + \frac{1}{2} \cdot (2 π) - π$

Этап 5.3.4.3.2

Сократим общий множитель.

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 t) + \frac{1}{2} \cdot (2 π) - π$

Этап 5.3.4.3.3

Перепишем это выражение.

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = t + \frac{1}{2} \cdot (2 π) - π$

Этап 5.3.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = t + \frac{1}{2} \cdot (2 (π)) - π$

Этап 5.3.4.4.2

Сократим общий множитель.

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = t + \frac{1}{2} \cdot (2 π) - π$

Этап 5.3.4.4.3

Перепишем это выражение.

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = t + π - π$

Этап 5.3.5

Объединим противоположные члены в $t + π - π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Вычтем $π$ из $π$ .

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = t + 0$

Этап 5.3.5.2

Добавим $t$ и $0$ .

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = t$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (t)) = t$ и $f (f^{- 1} (t)) = t$ , то $f^{- 1} (t) = arcsec (2 t + 2 π) - 2$ — обратная к $f (t) = \frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π$ .

$f^{- 1} (t) = arcsec (2 t + 2 π) - 2$