Тригонометрия Примеры

\sin (x) < 0

$\sin (x) < 0$ ,

\cot (x) > 0

$\cot (x) > 0$

Этап 1

Упростим первое неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь

x

$x$ из синуса.

x < \arcsin (0)

$x < \arcsin (0)$ и

\cot (x) > 0

$\cot (x) > 0$

Этап 1.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Точное значение

\arcsin (0)

$\arcsin (0)$ :

0

$0$ .

x < 0

$x < 0$ и

\cot (x) > 0

$\cot (x) > 0$

x < 0

$x < 0$ и

\cot (x) > 0

$\cot (x) > 0$

Этап 1.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из

π

$π$ и найдем решение во втором квадранте.

x = π - 0

$x = π - 0$ и

\cot (x) > 0

$\cot (x) > 0$

Этап 1.4

Вычтем

0

$0$ из

π

$π$ .

x = π

$x = π$ и

\cot (x) > 0

$\cot (x) > 0$

Этап 1.5

Найдем период

\sin (x)

$\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Период функции можно вычислить по формуле

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 1.5.2

Заменим

b

$b$ на

1

$1$ в формуле периода.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 1.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между

0

$0$ и

1

$1$ равно

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Этап 1.5.4

Разделим

2 π

$2 π$ на

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Этап 1.6

Период функции

\sin (x)

$\sin (x)$ равен

2 π

$2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые

2 π

$2 π$ рад. в обоих направлениях.

x = 2 π n, π + 2 π n

$x = 2 π n, π + 2 π n$ и

\cot (x) > 0

$\cot (x) > 0$

Этап 1.7

Объединим ответы.

x = π n

$x = π n$ и

\cot (x) > 0

$\cot (x) > 0$

Этап 1.8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

0 < x < π

$0 < x < π$

π < x < 2 π

$π < x < 2 π$ и

\cot (x) > 0

$\cot (x) > 0$

Этап 1.9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Проверим значение на интервале

0 < x < π

$0 < x < π$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1.1

Выберем значение на интервале

0 < x < π

$0 < x < π$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

x = 2

$x = 2$ и

\cot (x) > 0

$\cot (x) > 0$

Этап 1.9.1.2

Заменим

x

$x$ на

2

$2$ в исходном неравенстве.

\sin (2) < 0

$\sin (2) < 0$ и

\cot (x) > 0

$\cot (x) > 0$

Этап 1.9.1.3

Левая часть

0.90929742

$0.90929742$ не меньше правой части

0

$0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь и

\cot (x) > 0

$\cot (x) > 0$

Ложь и

\cot (x) > 0

$\cot (x) > 0$

Этап 1.9.2

Проверим значение на интервале

π < x < 2 π

$π < x < 2 π$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.2.1

Выберем значение на интервале

π < x < 2 π

$π < x < 2 π$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

x = 5

$x = 5$ и

\cot (x) > 0

$\cot (x) > 0$

Этап 1.9.2.2

Заменим

x

$x$ на

5

$5$ в исходном неравенстве.

\sin (5) < 0

$\sin (5) < 0$ и

\cot (x) > 0

$\cot (x) > 0$

Этап 1.9.2.3

Левая часть

- 0.95892427

$- 0.95892427$ меньше правой части

0

$0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина и

\cot (x) > 0

$\cot (x) > 0$

Истина и

\cot (x) > 0

$\cot (x) > 0$

Этап 1.9.3

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

0 < x < π

$0 < x < π$ Ложь

π < x < 2 π

$π < x < 2 π$ True and

\cot (x) > 0

$\cot (x) > 0$

0 < x < π

$0 < x < π$ Ложь

π < x < 2 π

$π < x < 2 π$ True and

\cot (x) > 0

$\cot (x) > 0$

Этап 1.10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ и

\cot (x) > 0

$\cot (x) > 0$

π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ и

\cot (x) > 0

$\cot (x) > 0$

Этап 2

Упростим второе неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь

x

$x$ из котангенса.

π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ и

x > arccot (0)

$x > arccot (0)$

Этап 2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Точное значение

arccot (0)

$arccot (0)$ :

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ .

π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ и

x > \frac{π}{2}

$x > \frac{π}{2}$

π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ и

x > \frac{π}{2}

$x > \frac{π}{2}$

Этап 2.3

Функция котангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из

π

$π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ и

x = π + \frac{π}{2}

$x = π + \frac{π}{2}$

Этап 2.4

Упростим

π + \frac{π}{2}

$π + \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы записать

π

$π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ и

x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 2.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Объединим

π

$π$ и

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ и

x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 2.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ и

x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ и

x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Этап 2.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Перенесем

2

$2$ влево от

π

$π$ .

π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ и

x = \frac{2 \cdot π + π}{2}

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Этап 2.4.3.2

Добавим

2 π

$2 π$ и

π

$π$ .

π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ и

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ и

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ и

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 2.5

Найдем период

\cot (x)

$\cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле

\frac{π}{| b |}

$\frac{π}{| b |}$ .

\frac{π}{| b |}

$\frac{π}{| b |}$

Этап 2.5.2

Заменим

b

$b$ на

1

$1$ в формуле периода.

\frac{π}{| 1 |}

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между

0

$0$ и

1

$1$ равно

1

$1$ .

\frac{π}{1}

$\frac{π}{1}$

Этап 2.5.4

Разделим

π

$π$ на

1

$1$ .

π

$π$

π

$π$

Этап 2.6

Период функции

\cot (x)

$\cot (x)$ равен

π

$π$ . Поэтому значения повторяются через каждые

π

$π$ рад. в обоих направлениях.

π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ и

x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$

Этап 2.7

Объединим ответы.

π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ и

x = \frac{π}{2} + π n

$x = \frac{π}{2} + π n$

Этап 2.8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ и

\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$

Этап 2.9

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Проверим значение на интервале

\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1.1

Выберем значение на интервале

\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ и

x = 3

$x = 3$

Этап 2.9.1.2

Заменим

x

$x$ на

3

$3$ в исходном неравенстве.

π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ и

\cot (3) > 0

$\cot (3) > 0$

Этап 2.9.1.3

Левая часть

- 7.01525255

$- 7.01525255$ не больше правой части

0

$0$ , значит, данное утверждение ложно.

π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ and False

π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ and False

Этап 2.9.2

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ and

\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ False

π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ and

\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ False

Этап 2.10

Поскольку попадающие в этот интервал числа отсутствуют, это неравенство не имеет решения.

π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ and No solution

Нет решения