Тригонометрия Примеры

(3 \sqrt{2}, \frac{5 π}{4})

$(3 \sqrt{2}, \frac{5 π}{4})$

Этап 1

Используем соответствующие формулы перевода, чтобы перейти от полярных координат к прямоугольным.

$x = r c o s θ$

$y = r s i n θ$

Этап 2

Подставим известные значения

$r = 3 \sqrt{2}$ и

$θ = \frac{5 π}{4}$ в формулы.

$x = (3 \sqrt{2}) \cos (\frac{5 π}{4})$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Этап 3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный в третьем квадранте.

$x = 3 \sqrt{2} (- \cos (\frac{π}{4}))$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Этап 4

Точное значение

$\cos (\frac{π}{4})$ :

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 3 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Этап 5

Умножим

$3 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим

$- 1$ на

$3$ .

$x = - 3 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Этап 5.2

Объединим

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ и

$- 3$ .

$x = \frac{\sqrt{2} \cdot - 3}{2} \cdot \sqrt{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Этап 5.3

Объединим

$\frac{\sqrt{2} \cdot - 3}{2}$ и

$\sqrt{2}$ .

$x = \frac{\sqrt{2} \cdot (- 3 \sqrt{2})}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Этап 5.4

Возведем

$\sqrt{2}$ в степень

$1$ .

$x = \frac{- 3 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Этап 5.5

Возведем

$\sqrt{2}$ в степень

$1$ .

$x = \frac{- 3 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Этап 5.6

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \frac{- 3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Этап 5.7

Добавим

$1$ и

$1$ .

$x = \frac{- 3 {\sqrt{2}}^{2}}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

$x = \frac{- 3 {\sqrt{2}}^{2}}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Этап 6

Перепишем

${\sqrt{2}}^{2}$ в виде

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

С помощью

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

$\sqrt{2}$ в виде

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \frac{- 3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Этап 6.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{- 3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Этап 6.3

Объединим

$\frac{1}{2}$ и

$2$ .

$x = \frac{- 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Этап 6.4

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{- 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Этап 6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

$x = \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Этап 6.5

Найдем экспоненту.

$x = \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

$x = \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Этап 7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим

$- 3$ на

$2$ .

$x = \frac{- 6}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Этап 7.2

Разделим

$- 6$ на

$2$ .

$x = - 3$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

$x = - 3$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Этап 8

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в третьем квадранте.

$x = - 3$

$y = 3 \sqrt{2} (- \sin (\frac{π}{4}))$

Этап 9

Точное значение

$\sin (\frac{π}{4})$ :

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 3$

$y = 3 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 10

Умножим

$3 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим

$- 1$ на

$3$ .

$x = - 3$

$y = - 3 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 10.2

Объединим

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ и

$- 3$ .

$x = - 3$

$y = \frac{\sqrt{2} \cdot - 3}{2} \cdot \sqrt{2}$

Этап 10.3

Объединим

$\frac{\sqrt{2} \cdot - 3}{2}$ и

$\sqrt{2}$ .

$x = - 3$

$y = \frac{\sqrt{2} \cdot (- 3 \sqrt{2})}{2}$

Этап 10.4

Возведем

$\sqrt{2}$ в степень

$1$ .

$x = - 3$

$y = \frac{- 3 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2}$

Этап 10.5

Возведем

$\sqrt{2}$ в степень

$1$ .

$x = - 3$

$y = \frac{- 3 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2}$

Этап 10.6

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = - 3$

$y = \frac{- 3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}$

Этап 10.7

Добавим

$1$ и

$1$ .

$x = - 3$

$y = \frac{- 3 {\sqrt{2}}^{2}}{2}$

$x = - 3$

$y = \frac{- 3 {\sqrt{2}}^{2}}{2}$

Этап 11

Перепишем

${\sqrt{2}}^{2}$ в виде

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

С помощью

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

$\sqrt{2}$ в виде

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = - 3$

$y = \frac{- 3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Этап 11.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = - 3$

$y = \frac{- 3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Этап 11.3

Объединим

$\frac{1}{2}$ и

$2$ .

$x = - 3$

$y = \frac{- 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Этап 11.4

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Сократим общий множитель.

$x = - 3$

$y = \frac{- 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Этап 11.4.2

Перепишем это выражение.

$x = - 3$

$y = \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

$x = - 3$

$y = \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Этап 11.5

Найдем экспоненту.

$x = - 3$

$y = \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

$x = - 3$

$y = \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Этап 12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим

$- 3$ на

$2$ .

$x = - 3$

$y = \frac{- 6}{2}$

Этап 12.2

Разделим

$- 6$ на

$2$ .

$x = - 3$

$y = - 3$

$x = - 3$

$y = - 3$

Этап 13

Представление точки

$(3 \sqrt{2}, \frac{5 π}{4})$ , заданной в полярных координатах, в прямоугольной системе координат имеет вид

$(- 3, - 3)$ .

$(- 3, - 3)$