Тригонометрия Примеры

$9 x^{2} - 42 x > - 49$

Этап 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$9 x^{2} - 42 x = - 49$

Этап 2

Добавим $49$ к обеим частям уравнения.

$9 x^{2} - 42 x + 49 = 0$

Этап 3

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $9 x^{2}$ в виде ${(3 x)}^{2}$ .

${(3 x)}^{2} - 42 x + 49 = 0$

Этап 3.2

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

${(3 x)}^{2} - 42 x + 7^{2} = 0$

Этап 3.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$42 x = 2 \cdot (3 x) \cdot 7$

Этап 3.4

Перепишем многочлен.

${(3 x)}^{2} - 2 \cdot (3 x) \cdot 7 + 7^{2} = 0$

Этап 3.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = 3 x$ и $b = 7$ .

${(3 x - 7)}^{2} = 0$

Этап 4

Приравняем $3 x - 7$ к $0$ .

$3 x - 7 = 0$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 7$

Этап 5.2

Разделим каждый член $3 x = 7$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $3 x = 7$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{7}{3}$

Этап 6

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < \frac{7}{3}$

$x > \frac{7}{3}$

Этап 7

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Проверим значение на интервале $x < \frac{7}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Выберем значение на интервале $x < \frac{7}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 7.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$9 {(0)}^{2} - 42 \cdot 0 > - 49$

Этап 7.1.3

Левая часть $0$ больше правой части $- 49$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 7.2

Проверим значение на интервале $x > \frac{7}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{7}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 5$

Этап 7.2.2

Заменим $x$ на $5$ в исходном неравенстве.

$9 {(5)}^{2} - 42 \cdot 5 > - 49$

Этап 7.2.3

Левая часть $15$ больше правой части $- 49$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 7.3

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < \frac{7}{3}$ Истина

$x > \frac{7}{3}$ Истина

$x < \frac{7}{3}$ Истина

$x > \frac{7}{3}$ Истина

Этап 8

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < \frac{7}{3}$ или $x > \frac{7}{3}$

Этап 9

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, \frac{7}{3}) \cup (\frac{7}{3}, \infty)$

Этап 10