Тригонометрия Примеры

$3 < 2 y^{2} + 5 y$

Этап 1

Перепишем таким образом, чтобы $y$ оказалось в левой части неравенства.

$2 y^{2} + 5 y > 3$

Этап 2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$2 y^{2} + 5 y = 3$

Этап 3

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 y^{2} + 5 y - 3 = 0$

Этап 4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ , а сумма — $b = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 y$ .

$2 y^{2} + 5 (y) - 3 = 0$

Этап 4.1.2

Запишем $5$ как $- 1$ плюс $6$

$2 y^{2} + (- 1 + 6) y - 3 = 0$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y^{2} - 1 y + 6 y - 3 = 0$

Этап 4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 y^{2} - 1 y) + 6 y - 3 = 0$

Этап 4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$y (2 y - 1) + 3 (2 y - 1) = 0$

Этап 4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 y - 1$ .

$(2 y - 1) (y + 3) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 y - 1 = 0$

$y + 3 = 0$

Этап 6

Приравняем $2 y - 1$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $2 y - 1$ к $0$ .

$2 y - 1 = 0$

Этап 6.2

Решим $2 y - 1 = 0$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 y = 1$

Этап 6.2.2

Разделим каждый член $2 y = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Разделим каждый член $2 y = 1$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 6.2.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{1}{2}$

Этап 7

Приравняем $y + 3$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $y + 3$ к $0$ .

$y + 3 = 0$

Этап 7.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$y = - 3$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 y - 1) (y + 3) = 0$ верно.

$y = \frac{1}{2}, - 3$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$y < - 3$

$- 3 < y < \frac{1}{2}$

$y > \frac{1}{2}$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $y < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $y < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$y = - 6$

Этап 10.1.2

Заменим $y$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$3 < 2 {(- 6)}^{2} + 5 (- 6)$

Этап 10.1.3

Левая часть $3$ меньше правой части $42$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $- 3 < y < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $- 3 < y < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$y = 0$

Этап 10.2.2

Заменим $y$ на $0$ в исходном неравенстве.

$3 < 2 {(0)}^{2} + 5 (0)$

Этап 10.2.3

Левая часть $3$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 10.3

Проверим значение на интервале $y > \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Выберем значение на интервале $y > \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$y = 3$

Этап 10.3.2

Заменим $y$ на $3$ в исходном неравенстве.

$3 < 2 {(3)}^{2} + 5 (3)$

Этап 10.3.3

Левая часть $3$ меньше правой части $33$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$y < - 3$ Истина

$- 3 < y < \frac{1}{2}$ Ложь

$y > \frac{1}{2}$ Истина

$y < - 3$ Истина

$- 3 < y < \frac{1}{2}$ Ложь

$y > \frac{1}{2}$ Истина

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$y < - 3$ или $y > \frac{1}{2}$

Этап 12

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - 3) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Этап 13