Тригонометрия Примеры

$\sin (x) > \cos (x)$

Этап 1

Разделим каждый член уравнения на $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} > \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Этап 2

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\tan (x) > \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Этап 3

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель.

$\tan (x) > \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Этап 3.2

Перепишем это выражение.

$\tan (x) > 1$

Этап 4

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x > \arctan (1)$

Этап 5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$x > \frac{π}{4}$

Этап 6

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + \frac{π}{4}$

Этап 7

Упростим $π + \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 7.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 7.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 7.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 7.3.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Этап 8

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 8.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 8.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 8.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 9

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$\frac{π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{9 π}{4}$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $\frac{π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $\frac{π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 11.1.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\sin (2) > \cos (2)$

Этап 11.1.3

Левая часть $0.90929742$ больше правой части $- 0.41614683$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $\frac{5 π}{4} < x < \frac{9 π}{4}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{5 π}{4} < x < \frac{9 π}{4}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 5$

Этап 11.2.2

Заменим $x$ на $5$ в исходном неравенстве.

$\sin (5) > \cos (5)$

Этап 11.2.3

Левая часть $- 0.95892427$ не больше правой части $0.28366218$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.3

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$\frac{π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ Истина

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{9 π}{4}$ Ложь

$\frac{π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ Истина

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{9 π}{4}$ Ложь

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{π}{4} + π n < x < \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 13

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(\frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n)$

Этап 14