Тригонометрия Примеры

$\tan (3 x - \frac{π}{2}) > 1$

Этап 1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$3 x - \frac{π}{2} > \arctan (1)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$3 x - \frac{π}{2} > \frac{π}{4}$

Этап 3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $\frac{π}{2}$ к обеим частям неравенства.

$3 x > \frac{π}{4} + \frac{π}{2}$

Этап 3.2

Чтобы записать $\frac{π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$3 x > \frac{π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$3 x > \frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$3 x > \frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}$

Этап 3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 x > \frac{π + π \cdot 2}{4}$

Этап 3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$3 x > \frac{π + 2 \cdot π}{4}$

Этап 3.5.2

Добавим $π$ и $2 π$ .

$3 x > \frac{3 π}{4}$

Этап 4

Разделим каждый член $3 x > \frac{3 π}{4}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $3 x > \frac{3 π}{4}$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} > \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} > \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x > \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x > \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 4.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 π$ .

$x > \frac{3 (π)}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$x > \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$x > \frac{π}{4}$

Этап 5

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$3 x - \frac{π}{2} = π + \frac{π}{4}$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим $π + \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$3 x - \frac{π}{2} = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 6.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$3 x - \frac{π}{2} = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 6.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 x - \frac{π}{2} = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 6.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$3 x - \frac{π}{2} = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 6.1.3.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$3 x - \frac{π}{2} = \frac{5 π}{4}$

Этап 6.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $\frac{π}{2}$ к обеим частям уравнения.

$3 x = \frac{5 π}{4} + \frac{π}{2}$

Этап 6.2.2

Чтобы записать $\frac{π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$3 x = \frac{5 π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 6.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$3 x = \frac{5 π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Этап 6.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$3 x = \frac{5 π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}$

Этап 6.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 x = \frac{5 π + π \cdot 2}{4}$

Этап 6.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$3 x = \frac{5 π + 2 \cdot π}{4}$

Этап 6.2.5.2

Добавим $5 π$ и $2 π$ .

$3 x = \frac{7 π}{4}$

Этап 6.3

Разделим каждый член $3 x = \frac{7 π}{4}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $3 x = \frac{7 π}{4}$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{4}}{3}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{4}}{3}$

Этап 6.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{4}}{3}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 6.3.3.2

Умножим $\frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Умножим $\frac{7 π}{4}$ на $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{7 π}{4 \cdot 3}$

Этап 6.3.3.2.2

Умножим $4$ на $3$ .

$x = \frac{7 π}{12}$

Этап 7

Найдем период $\tan (3 x - \frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 7.2

Заменим $b$ на $3$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 3 |}$

Этап 7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$\frac{π}{3}$

Этап 8

Период функции $\tan (3 x - \frac{π}{2})$ равен $\frac{π}{3}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{π}{3}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{3}, \frac{7 π}{12} + \frac{π n}{3}$ , для любого целого $n$

Этап 9

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{3}$ , для любого целого $n$

Этап 10

Найдем область определения $\tan (3 x - \frac{π}{2}) - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Зададим аргумент в $\tan (3 x - \frac{π}{2})$ равным $\frac{π}{2} + π n$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$3 x - \frac{π}{2} = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 10.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Добавим $\frac{π}{2}$ к обеим частям уравнения.

$3 x = \frac{π}{2} + π n + \frac{π}{2}$

Этап 10.2.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 x = π n + \frac{π + π}{2}$

Этап 10.2.1.3

Добавим $π$ и $π$ .

$3 x = π n + \frac{2 π}{2}$

Этап 10.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$3 x = π n + \frac{2 π}{2}$

Этап 10.2.1.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$3 x = π n + π$

Этап 10.2.2

Разделим каждый член $3 x = π n + π$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = π n + π$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{π n}{3} + \frac{π}{3}$

Этап 10.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{π n}{3} + \frac{π}{3}$

Этап 10.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{π n}{3} + \frac{π}{3}$

Этап 10.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

${x | x \neq \frac{π n}{3} + \frac{π}{3}}$ $n$ , для любого целого числа $n$

Этап 11

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$

$\frac{π}{3} < x < \frac{7 π}{12}$

Этап 12

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Проверим значение на интервале $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Выберем значение на интервале $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 12.1.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$\tan (3 (1) - \frac{π}{2}) > 1$

Этап 12.1.3

Левая часть $7.01525255$ больше правой части $1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 12.2

Проверим значение на интервале $\frac{π}{3} < x < \frac{7 π}{12}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{π}{3} < x < \frac{7 π}{12}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1.44$

Этап 12.2.2

Заменим $x$ на $1.44$ в исходном неравенстве.

$\tan (3 (1.44) - \frac{π}{2}) > 1$

Этап 12.2.3

Левая часть $- 0.4138503$ не больше правой части $1$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 12.3

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ Истина

$\frac{π}{3} < x < \frac{7 π}{12}$ Ложь

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ Истина

$\frac{π}{3} < x < \frac{7 π}{12}$ Ложь

Этап 13

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{π}{4} + \frac{π n}{3} < x < \frac{π}{3} + \frac{π n}{3}$ , для любого целого $n$

Этап 14

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(\frac{π}{4} + \frac{π n}{3}, \frac{π}{3} + \frac{π n}{3})$

Этап 15