Тригонометрия Примеры

$\sin (\frac{x}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$\frac{x}{3} < \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ : $\frac{π}{3}$ .

$\frac{x}{3} < \frac{π}{3}$

Этап 3

Поскольку выражения в каждой части уравнения имеют одинаковые знаменатели, числители должны быть равны.

$x < π$

Этап 4

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$\frac{x}{3} = π - \frac{π}{3}$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 (π - \frac{π}{3})$

Этап 5.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{x}{3} = 3 (π - \frac{π}{3})$

Этап 5.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 3 (π - \frac{π}{3})$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим $3 (π - \frac{π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = 3 (π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3})$

Этап 5.2.2.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1

Объединим $π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = 3 (\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3})$

Этап 5.2.2.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = 3 \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 5.2.2.1.2.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.3.1

Сократим общий множитель.

$x = 3 \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 5.2.2.1.2.3.2

Перепишем это выражение.

$x = π \cdot 3 - π$

Этап 5.2.2.1.3

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$x = 3 π - π$

Этап 5.2.2.1.4

Вычтем $π$ из $3 π$ .

$x = 2 π$

Этап 6

Найдем период $\sin (\frac{x}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{3}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{3} |}$

Этап 6.3

$\frac{1}{3}$ приблизительно равно $0.\overline{3}$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

Этап 6.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \cdot 3$

Этап 6.5

Умножим $3$ на $2$ .

$6 π$

Этап 7

Период функции $\sin (\frac{x}{3})$ равен $6 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $6 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π + 6 π n, 2 π + 6 π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$π < x < 2 π$

$2 π < x < 7 π$

$7 π < x < 8 π$

Этап 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Проверим значение на интервале $π < x < 2 π$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Выберем значение на интервале $π < x < 2 π$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 5$

Этап 9.1.2

Заменим $x$ на $5$ в исходном неравенстве.

$\sin (\frac{5}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 9.1.3

Левая часть $0.99540795$ не меньше правой части $0.8660254$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.2

Проверим значение на интервале $2 π < x < 7 π$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Выберем значение на интервале $2 π < x < 7 π$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 9$

Этап 9.2.2

Заменим $x$ на $9$ в исходном неравенстве.

$\sin (\frac{9}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 9.2.3

Левая часть $0.14112$ меньше правой части $0.8660254$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.3

Проверим значение на интервале $7 π < x < 8 π$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Выберем значение на интервале $7 π < x < 8 π$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 24$

Этап 9.3.2

Заменим $x$ на $24$ в исходном неравенстве.

$\sin (\frac{24}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 9.3.3

Левая часть $0.98935824$ не меньше правой части $0.8660254$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$π < x < 2 π$ Ложь

$2 π < x < 7 π$ Истина

$7 π < x < 8 π$ Ложь

$π < x < 2 π$ Ложь

$2 π < x < 7 π$ Истина

$7 π < x < 8 π$ Ложь

Этап 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$2 π + 6 π n < x < 7 π + 6 π n$ , для любого целого $n$

Этап 11

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(2 π + 6 π n, 7 π + 6 π n)$

Этап 12