Тригонометрия Примеры

$\frac{6}{3 w - 4} > w + 1$

Этап 1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $w$ из обеих частей неравенства.

$\frac{6}{3 w - 4} - w > 1$

Этап 1.2

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$\frac{6}{3 w - 4} - w - 1 > 0$

Этап 2

Упростим $\frac{6}{3 w - 4} - w - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $- w$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 w - 4}{3 w - 4}$ .

$\frac{6}{3 w - 4} - w \cdot \frac{3 w - 4}{3 w - 4} - 1 > 0$

Этап 2.2

Объединим $- w$ и $\frac{3 w - 4}{3 w - 4}$ .

$\frac{6}{3 w - 4} + \frac{- w (3 w - 4)}{3 w - 4} - 1 > 0$

Этап 2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{6 - w (3 w - 4)}{3 w - 4} - 1 > 0$

Этап 2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 - w (3 w) - w \cdot - 4}{3 w - 4} - 1 > 0$

Этап 2.4.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{6 - 1 \cdot 3 w \cdot w - w \cdot - 4}{3 w - 4} - 1 > 0$

Этап 2.4.3

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$\frac{6 - 1 \cdot 3 w \cdot w + 4 w}{3 w - 4} - 1 > 0$

Этап 2.4.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Умножим $w$ на $w$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1.1

Перенесем $w$ .

$\frac{6 - 1 \cdot 3 (w \cdot w) + 4 w}{3 w - 4} - 1 > 0$

Этап 2.4.4.1.2

Умножим $w$ на $w$ .

$\frac{6 - 1 \cdot 3 w^{2} + 4 w}{3 w - 4} - 1 > 0$

Этап 2.4.4.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{6 - 3 w^{2} + 4 w}{3 w - 4} - 1 > 0$

Этап 2.4.5

Изменим порядок членов.

$\frac{- 3 w^{2} + 4 w + 6}{3 w - 4} - 1 > 0$

Этап 2.5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 w - 4}{3 w - 4}$ .

$\frac{- 3 w^{2} + 4 w + 6}{3 w - 4} - 1 \cdot \frac{3 w - 4}{3 w - 4} > 0$

Этап 2.6

Объединим $- 1$ и $\frac{3 w - 4}{3 w - 4}$ .

$\frac{- 3 w^{2} + 4 w + 6}{3 w - 4} + \frac{- (3 w - 4)}{3 w - 4} > 0$

Этап 2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 3 w^{2} + 4 w + 6 - (3 w - 4)}{3 w - 4} > 0$

Этап 2.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 3 w^{2} + 4 w + 6 - (3 w) - - 4}{3 w - 4} > 0$

Этап 2.8.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{- 3 w^{2} + 4 w + 6 - 3 w - - 4}{3 w - 4} > 0$

Этап 2.8.3

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$\frac{- 3 w^{2} + 4 w + 6 - 3 w + 4}{3 w - 4} > 0$

Этап 2.8.4

Вычтем $3 w$ из $4 w$ .

$\frac{- 3 w^{2} + w + 6 + 4}{3 w - 4} > 0$

Этап 2.8.5

Добавим $6$ и $4$ .

$\frac{- 3 w^{2} + w + 10}{3 w - 4} > 0$

Этап 2.8.6

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.6.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 3 \cdot 10 = - 30$ , а сумма — $b = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.6.1.1

Умножим на $1$ .

$\frac{- 3 w^{2} + 1 w + 10}{3 w - 4} > 0$

Этап 2.8.6.1.2

Запишем $1$ как $- 5$ плюс $6$

$\frac{- 3 w^{2} + (- 5 + 6) w + 10}{3 w - 4} > 0$

Этап 2.8.6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 3 w^{2} - 5 w + 6 w + 10}{3 w - 4} > 0$

Этап 2.8.6.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.6.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(- 3 w^{2} - 5 w) + 6 w + 10}{3 w - 4} > 0$

Этап 2.8.6.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{w (- 3 w - 5) - 2 (- 3 w - 5)}{3 w - 4} > 0$

Этап 2.8.6.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 3 w - 5$ .

$\frac{(- 3 w - 5) (w - 2)}{3 w - 4} > 0$

Этап 2.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 w$ .

$\frac{(- (3 w) - 5) (w - 2)}{3 w - 4} > 0$

Этап 2.10

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$\frac{(- (3 w) - 1 (5)) (w - 2)}{3 w - 4} > 0$

Этап 2.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 w) - 1 (5)$ .

$\frac{- (3 w + 5) (w - 2)}{3 w - 4} > 0$

Этап 2.12

Перепишем $- (3 w + 5)$ в виде $- 1 (3 w + 5)$ .

$\frac{- 1 (3 w + 5) (w - 2)}{3 w - 4} > 0$

Этап 2.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(3 w + 5) (w - 2)}{3 w - 4} > 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$3 w + 5 = 0$

$w - 2 = 0$

$3 w - 4 = 0$

Этап 4

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$3 w = - 5$

Этап 5

Разделим каждый член $3 w = - 5$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $3 w = - 5$ на $3$ .

$\frac{3 w}{3} = \frac{- 5}{3}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 w}{3} = \frac{- 5}{3}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $w$ на $1$ .

$w = \frac{- 5}{3}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$w = - \frac{5}{3}$

Этап 6

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$w = 2$

Этап 7

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$3 w = 4$

Этап 8

Разделим каждый член $3 w = 4$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $3 w = 4$ на $3$ .

$\frac{3 w}{3} = \frac{4}{3}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 w}{3} = \frac{4}{3}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $w$ на $1$ .

$w = \frac{4}{3}$

Этап 9

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$w = - \frac{5}{3}$

$w = 2$

$w = \frac{4}{3}$

Этап 10

Объединим решения.

$w = - \frac{5}{3}, 2, \frac{4}{3}$

Этап 11

Найдем область определения $- \frac{(3 w + 5) (w - 2)}{3 w - 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Зададим знаменатель в $\frac{(3 w + 5) (w - 2)}{3 w - 4}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$3 w - 4 = 0$

Этап 11.2

Решим относительно $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$3 w = 4$

Этап 11.2.2

Разделим каждый член $3 w = 4$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Разделим каждый член $3 w = 4$ на $3$ .

$\frac{3 w}{3} = \frac{4}{3}$

Этап 11.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 w}{3} = \frac{4}{3}$

Этап 11.2.2.2.1.2

Разделим $w$ на $1$ .

$w = \frac{4}{3}$

Этап 11.3

Область определения ― это все значения $w$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, \frac{4}{3}) \cup (\frac{4}{3}, \infty)$

Этап 12

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$w < - \frac{5}{3}$

$- \frac{5}{3} < w < \frac{4}{3}$

$\frac{4}{3} < w < 2$

$w > 2$

Этап 13

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проверим значение на интервале $w < - \frac{5}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Выберем значение на интервале $w < - \frac{5}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$w = - 4$

Этап 13.1.2

Заменим $w$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\frac{6}{3 (- 4) - 4} > (- 4) + 1$

Этап 13.1.3

Левая часть $- 0.375$ больше правой части $- 3$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 13.2

Проверим значение на интервале $- \frac{5}{3} < w < \frac{4}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{5}{3} < w < \frac{4}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$w = 0$

Этап 13.2.2

Заменим $w$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{6}{3 (0) - 4} > (0) + 1$

Этап 13.2.3

Левая часть $- 1.5$ не больше правой части $1$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 13.3

Проверим значение на интервале $\frac{4}{3} < w < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Выберем значение на интервале $\frac{4}{3} < w < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$w = 1.67$

Этап 13.3.2

Заменим $w$ на $1.67$ в исходном неравенстве.

$\frac{6}{3 (1.67) - 4} > (1.67) + 1$

Этап 13.3.3

Левая часть $5.\overline{9405}$ больше правой части $2.67$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 13.4

Проверим значение на интервале $w > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Выберем значение на интервале $w > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$w = 4$

Этап 13.4.2

Заменим $w$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{6}{3 (4) - 4} > (4) + 1$

Этап 13.4.3

Левая часть $0.75$ не больше правой части $5$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 13.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$w < - \frac{5}{3}$ Истина

$- \frac{5}{3} < w < \frac{4}{3}$ Ложь

$\frac{4}{3} < w < 2$ Истина

$w > 2$ Ложь

$w < - \frac{5}{3}$ Истина

$- \frac{5}{3} < w < \frac{4}{3}$ Ложь

$\frac{4}{3} < w < 2$ Истина

$w > 2$ Ложь

Этап 14

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$w < - \frac{5}{3}$ или $\frac{4}{3} < w < 2$

Этап 15

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - \frac{5}{3}) \cup (\frac{4}{3}, 2)$

Этап 16