Тригонометрия Примеры

$x^{2} - x + 5 < 11$

Этап 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} - x + 5 = 11$

Этап 2

Вычтем $11$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - x + 5 - 11 = 0$

Этап 3

Вычтем $11$ из $5$ .

$x^{2} - x - 6 = 0$

Этап 4

Разложим $x^{2} - x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $- 1$ .

$- 3, 2$

Этап 4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 3) (x + 2) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 6

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 6.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 7

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 3, - 2$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 2$

$- 2 < x < 3$

$x > 3$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 10.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

${(- 4)}^{2} - (- 4) + 5 < 11$

Этап 10.1.3

Левая часть $25$ не меньше правой части $11$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $- 2 < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 10.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

${(0)}^{2} - (0) + 5 < 11$

Этап 10.2.3

Левая часть $5$ меньше правой части $11$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 10.3

Проверим значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Выберем значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 10.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

${(6)}^{2} - (6) + 5 < 11$

Этап 10.3.3

Левая часть $35$ не меньше правой части $11$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

$x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 2 < x < 3$

Этап 12

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- 2, 3)$

Этап 13