Тригонометрия Примеры

$- 2 x^{2} + 3 x + 5 > 0$

Этап 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$- 2 x^{2} + 3 x + 5 = 0$

Этап 2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x^{2} + 3 x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x^{2}$ .

$- (2 x^{2}) + 3 x + 5 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $3 x$ .

$- (2 x^{2}) - (- 3 x) + 5 = 0$

Этап 2.1.3

Перепишем $5$ в виде $- 1 (- 5)$ .

$- (2 x^{2}) - (- 3 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x^{2}) - (- 3 x)$ .

$- (2 x^{2} - 3 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

Этап 2.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x^{2} - 3 x) - 1 (- 5)$ .

$- (2 x^{2} - 3 x - 5) = 0$

Этап 2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ , а сумма — $b = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 x$ .

$- (2 x^{2} - 3 x - 5) = 0$

Этап 2.2.1.1.2

Запишем $- 3$ как $2$ плюс $- 5$

$- (2 x^{2} + (2 - 5) x - 5) = 0$

Этап 2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (2 x^{2} + 2 x - 5 x - 5) = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- ((2 x^{2} + 2 x) - 5 x - 5) = 0$

Этап 2.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- (2 x (x + 1) - 5 (x + 1)) = 0$

Этап 2.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x + 1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 5)) = 0$

Этап 2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x + 1) (2 x - 5) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$2 x - 5 = 0$

Этап 4

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 4.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 5

Приравняем $2 x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $2 x - 5$ к $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Этап 5.2

Решим $2 x - 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 5$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $2 x = 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 5$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x + 1) (2 x - 5) = 0$ верно.

$x = - 1, \frac{5}{2}$

Этап 7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 1$

$- 1 < x < \frac{5}{2}$

$x > \frac{5}{2}$

Этап 8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Проверим значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 8.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$- 2 {(- 4)}^{2} + 3 (- 4) + 5 > 0$

Этап 8.1.3

Левая часть $- 39$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 8.2

Проверим значение на интервале $- 1 < x < \frac{5}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < \frac{5}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 8.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$- 2 {(0)}^{2} + 3 (0) + 5 > 0$

Этап 8.2.3

Левая часть $5$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 8.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{5}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{5}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 5$

Этап 8.3.2

Заменим $x$ на $5$ в исходном неравенстве.

$- 2 {(5)}^{2} + 3 (5) + 5 > 0$

Этап 8.3.3

Левая часть $- 30$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < \frac{5}{2}$ Истина

$x > \frac{5}{2}$ Ложь

$x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < \frac{5}{2}$ Истина

$x > \frac{5}{2}$ Ложь

Этап 9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 1 < x < \frac{5}{2}$

Этап 10

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- 1, \frac{5}{2})$

Этап 11