Тригонометрия Примеры

$12 x^{3} + 16 x^{2} - 5 x - 3$

Этап 1

Разложим $12 x^{3} + 16 x^{2} - 5 x - 3$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Этап 1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.08\overline{3}, \pm 0.5, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.25, \pm 3, \pm 1.5, \pm 0.75$

Этап 1.3

Подставим $- 0.\overline{3}$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 0.\overline{3}$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $- 0.\overline{3}$ в многочлен.

$12 {(- 0.\overline{3})}^{3} + 16 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 5 \cdot - 0.\overline{3} - 3$

Этап 1.3.2

Возведем $- 0.\overline{3}$ в степень $3$ .

$12 \cdot - 0.\overline{037} + 16 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 5 \cdot - 0.\overline{3} - 3$

Этап 1.3.3

Умножим $12$ на $- 0.\overline{037}$ .

$- 0.\overline{4} + 16 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 5 \cdot - 0.\overline{3} - 3$

Этап 1.3.4

Возведем $- 0.\overline{3}$ в степень $2$ .

$- 0.\overline{4} + 16 \cdot 0.\overline{1} - 5 \cdot - 0.\overline{3} - 3$

Этап 1.3.5

Умножим $16$ на $0.\overline{1}$ .

$- 0.\overline{4} + 1.\overline{7} - 5 \cdot - 0.\overline{3} - 3$

Этап 1.3.6

Добавим $- 0.\overline{4}$ и $1.\overline{7}$ .

$1.\overline{3} - 5 \cdot - 0.\overline{3} - 3$

Этап 1.3.7

Умножим $- 5$ на $- 0.\overline{3}$ .

$1.\overline{3} + 1.\overline{6} - 3$

Этап 1.3.8

Добавим $1.\overline{3}$ и $1.\overline{6}$ .

$3 - 3$

Этап 1.3.9

Вычтем $3$ из $3$ .

$0$

Этап 1.4

Поскольку $- 0.\overline{3}$ — известный корень, разделим многочлен на $3 x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{12 x^{3} + 16 x^{2} - 5 x - 3}{3 x + 1}$

Этап 1.5

Разделим $12 x^{3} + 16 x^{2} - 5 x - 3$ на $3 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$3 x$

$1$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$5 x$

$3$

Этап 1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $12 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

					$4 x^{2}$
	$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$

Этап 1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$4 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			+	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Этап 1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $12 x^{3} + 4 x^{2}$ .

				$4 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Этап 1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$4 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$

Этап 1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$4 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$5 x$

Этап 1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $12 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

				$4 x^{2}$	+	$4 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$5 x$

Этап 1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$4 x^{2}$	+	$4 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$4 x$

Этап 1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $12 x^{2} + 4 x$ .

				$4 x^{2}$	+	$4 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$4 x$

Этап 1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$4 x^{2}$	+	$4 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$9 x$

Этап 1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$4 x^{2}$	+	$4 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$9 x$	-	$3$

Этап 1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 9 x$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

				$4 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$9 x$	-	$3$

Этап 1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$4 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$9 x$	-	$3$
							-	$9 x$	-	$3$

Этап 1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 9 x - 3$ .

				$4 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$9 x$	-	$3$
							+	$9 x$	+	$3$

Этап 1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$4 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$9 x$	-	$3$
							+	$9 x$	+	$3$
										$0$

Этап 1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$4 x^{2} + 4 x - 3$

Этап 1.6

Запишем $12 x^{3} + 16 x^{2} - 5 x - 3$ в виде набора множителей.

$(3 x + 1) (4 x^{2} + 4 x - 3)$

Этап 2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot - 3 = - 12$ , а сумма — $b = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$(3 x + 1) (4 x^{2} + 4 (x) - 3)$

Этап 2.1.1.2

Запишем $4$ как $- 2$ плюс $6$

$(3 x + 1) (4 x^{2} + (- 2 + 6) x - 3)$

Этап 2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(3 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 6 x - 3)$

Этап 2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 x + 1) ((4 x^{2} - 2 x) + 6 x - 3)$

Этап 2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(3 x + 1) (2 x (2 x - 1) + 3 (2 x - 1))$

Этап 2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 1$ .

$(3 x + 1) ((2 x - 1) (2 x + 3))$

Этап 2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(3 x + 1) (2 x - 1) (2 x + 3)$