Тригонометрия Примеры

$12 x^{3} - 91 x^{2} + 50 x - 7$

Этап 1

Разложим $12 x^{3} - 91 x^{2} + 50 x - 7$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Этап 1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.08\overline{3}, \pm 0.5, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.25, \pm 7, \pm 0.58\overline{3}, \pm 3.5, \pm 1.1\overline{6}, \pm 2.\overline{3}, \pm 1.75$

Этап 1.3

Подставим $0.\overline{3}$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $0.\overline{3}$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $0.\overline{3}$ в многочлен.

$12 \cdot {0.\overline{3}}^{3} - 91 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 50 \cdot 0.\overline{3} - 7$

Этап 1.3.2

Возведем $0.\overline{3}$ в степень $3$ .

$12 \cdot 0.\overline{037} - 91 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 50 \cdot 0.\overline{3} - 7$

Этап 1.3.3

Умножим $12$ на $0.\overline{037}$ .

$0.\overline{4} - 91 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 50 \cdot 0.\overline{3} - 7$

Этап 1.3.4

Возведем $0.\overline{3}$ в степень $2$ .

$0.\overline{4} - 91 \cdot 0.\overline{1} + 50 \cdot 0.\overline{3} - 7$

Этап 1.3.5

Умножим $- 91$ на $0.\overline{1}$ .

$0.\overline{4} - 10.11111111 + 50 \cdot 0.\overline{3} - 7$

Этап 1.3.6

Вычтем $10.11111111$ из $0.\overline{4}$ .

$- 9.66666666 + 50 \cdot 0.\overline{3} - 7$

Этап 1.3.7

Умножим $50$ на $0.\overline{3}$ .

$- 9.66666666 + 16.\overline{6} - 7$

Этап 1.3.8

Добавим $- 9.66666666$ и $16.\overline{6}$ .

$7 - 7$

Этап 1.3.9

Вычтем $7$ из $7$ .

$0$

Этап 1.4

Поскольку $0.\overline{3}$ — известный корень, разделим многочлен на $3 x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{12 x^{3} - 91 x^{2} + 50 x - 7}{3 x - 1}$

Этап 1.5

Разделим $12 x^{3} - 91 x^{2} + 50 x - 7$ на $3 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$3 x$

$1$

$12 x^{3}$

$91 x^{2}$

$50 x$

$7$

Этап 1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $12 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

					$4 x^{2}$
	$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$

Этап 1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$4 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			+	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Этап 1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $12 x^{3} - 4 x^{2}$ .

				$4 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Этап 1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$4 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$

Этап 1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$4 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$	+	$50 x$

Этап 1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 87 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

				$4 x^{2}$	-	$29 x$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$	+	$50 x$

Этап 1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$4 x^{2}$	-	$29 x$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$	+	$50 x$
					-	$87 x^{2}$	+	$29 x$

Этап 1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 87 x^{2} + 29 x$ .

				$4 x^{2}$	-	$29 x$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$	+	$50 x$
					+	$87 x^{2}$	-	$29 x$

Этап 1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$4 x^{2}$	-	$29 x$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$	+	$50 x$
					+	$87 x^{2}$	-	$29 x$
							+	$21 x$

Этап 1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$4 x^{2}$	-	$29 x$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$	+	$50 x$
					+	$87 x^{2}$	-	$29 x$
							+	$21 x$	-	$7$

Этап 1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $21 x$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

				$4 x^{2}$	-	$29 x$	+	$7$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$	+	$50 x$
					+	$87 x^{2}$	-	$29 x$
							+	$21 x$	-	$7$

Этап 1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$4 x^{2}$	-	$29 x$	+	$7$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$	+	$50 x$
					+	$87 x^{2}$	-	$29 x$
							+	$21 x$	-	$7$
							+	$21 x$	-	$7$

Этап 1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $21 x - 7$ .

				$4 x^{2}$	-	$29 x$	+	$7$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$	+	$50 x$
					+	$87 x^{2}$	-	$29 x$
							+	$21 x$	-	$7$
							-	$21 x$	+	$7$

Этап 1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$4 x^{2}$	-	$29 x$	+	$7$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$	+	$50 x$
					+	$87 x^{2}$	-	$29 x$
							+	$21 x$	-	$7$
							-	$21 x$	+	$7$
										$0$

Этап 1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$4 x^{2} - 29 x + 7$

Этап 1.6

Запишем $12 x^{3} - 91 x^{2} + 50 x - 7$ в виде набора множителей.

$(3 x - 1) (4 x^{2} - 29 x + 7)$

Этап 2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot 7 = 28$ , а сумма — $b = - 29$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $- 29$ из $- 29 x$ .

$(3 x - 1) (4 x^{2} - 29 (x) + 7)$

Этап 2.1.1.2

Запишем $- 29$ как $- 1$ плюс $- 28$

$(3 x - 1) (4 x^{2} + (- 1 - 28) x + 7)$

Этап 2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(3 x - 1) (4 x^{2} - 1 x - 28 x + 7)$

Этап 2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 x - 1) ((4 x^{2} - 1 x) - 28 x + 7)$

Этап 2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(3 x - 1) (x (4 x - 1) - 7 (4 x - 1))$

Этап 2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 x - 1$ .

$(3 x - 1) ((4 x - 1) (x - 7))$

Этап 2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(3 x - 1) (4 x - 1) (x - 7)$