Тригонометрия Примеры

$\cos (\frac{23 π}{12})$

Этап 1

Сначала представим угол в виде суммы двух углов, для которых известны значения тригонометрических функций. В этом случае $\frac{23 π}{12}$ можно разделить на $\frac{5 π}{3} + \frac{π}{4}$ .

$\cos (\frac{5 π}{3} + \frac{π}{4})$

Этап 2

Используем формулу косинуса суммы, чтобы упростить выражение. Формула имеет вид: $\cos (A + B) = - (\cos (A) \cos (B) + \sin (A) \sin (B))$ .

$\cos (\frac{π}{4}) \cdot \cos (\frac{5 π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{5 π}{3})$

Этап 3

Избавимся от скобок.

$\cos (\frac{π}{4}) \cdot \cos (\frac{5 π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{5 π}{3})$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{5 π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{5 π}{3})$

Этап 4.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{5 π}{3})$

Этап 4.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} - \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{5 π}{3})$

Этап 4.4

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{5 π}{3})$

Этап 4.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} - \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{5 π}{3})$

Этап 4.5

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (\frac{5 π}{3})$

Этап 4.6

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \sin (\frac{π}{3}))$

Этап 4.7

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 4.8

Умножим $- \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + 1 \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4.8.2

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4.8.3

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.8.4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.8.5

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.8.6

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

Десятичная форма:

$0.96592582 \dots$