Тригонометрия Примеры

$\sec (105)$

Этап 1

Заменим $\sec (105)$ на эквивалентное выражение $\frac{1}{\cos (105)}$ , используя фундаментальные тождества.

$\frac{1}{\cos (105)}$

Этап 2

Используем в знаменателе формулу суммы или разностную формулу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сначала представим угол в виде суммы двух углов, для которых известны значения тригонометрических функций. В этом случае $105$ можно разделить на $45 + 60$ .

$\frac{1}{\cos (45 + 60)}$

Этап 2.2

Используем формулу косинуса суммы, чтобы упростить выражение. Формула имеет вид: $\cos (A + B) = - (\cos (A) \cos (B) + \sin (A) \sin (B))$ .

$\frac{1}{\cos (60) \cdot \cos (45) - \sin (60) \cdot \sin (45)}$

Этап 2.3

Избавимся от скобок.

$\frac{1}{\cos (60) \cdot \cos (45) - \sin (60) \cdot \sin (45)}$

Этап 2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Точное значение $\cos (60)$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \cos (45) - \sin (60) \cdot \sin (45)}$

Этап 2.4.2

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (60) \cdot \sin (45)}$

Этап 2.4.3

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \sin (60) \cdot \sin (45)}$

Этап 2.4.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} - \sin (60) \cdot \sin (45)}$

Этап 2.4.4

Точное значение $\sin (60)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (45)}$

Этап 2.4.5

Точное значение $\sin (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Этап 2.4.6

Умножим $- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2}}$

Этап 2.4.6.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}}$

Этап 2.4.6.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}$

Этап 2.4.6.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}}$

Этап 3.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$1 \frac{4}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}$

Этап 3.3

Умножим $\frac{4}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}$ на $1$ .

$\frac{4}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}$

Этап 3.4

Умножим $\frac{4}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}$ на $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{\sqrt{2} + \sqrt{6}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{2} - \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{\sqrt{2} + \sqrt{6}}$

Этап 3.5

Умножим $\frac{4}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}$ на $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{\sqrt{2} + \sqrt{6}}$ .

$\frac{4 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{(\sqrt{2} - \sqrt{6}) (\sqrt{2} + \sqrt{6})}$

Этап 3.6

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{4 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{{\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{12} - \sqrt{12} - {\sqrt{6}}^{2}}$

Этап 3.7

Упростим.

$\frac{4 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{- 4}$

Этап 3.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (\sqrt{2} + \sqrt{6})$

Этап 3.8.2

Перепишем $- 1 \cdot (\sqrt{2} + \sqrt{6})$ в виде $- (\sqrt{2} + \sqrt{6})$ .

$- (\sqrt{2} + \sqrt{6})$

Этап 3.9

Применим свойство дистрибутивности.

$- \sqrt{2} - \sqrt{6}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \sqrt{2} - \sqrt{6}$

Десятичная форма:

$- 3.86370330 \dots$