Тригонометрия Примеры

$\cot (165)$

Этап 1

Заменим $\cot (165)$ на эквивалентное выражение $\frac{1}{\tan (165)}$ , используя фундаментальные тождества.

$\frac{1}{\tan (165)}$

Этап 2

Используем в знаменателе формулу суммы или разностную формулу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сначала представим угол в виде суммы двух углов, для которых известны значения тригонометрических функций. В этом случае $165$ можно разделить на $120 + 45$ .

$\frac{1}{\tan (120 + 45)}$

Этап 2.2

Используем формулу тангенса суммы, чтобы упростить выражение. Формула имеет вид: $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{1}{\frac{\tan (120) + \tan (45)}{1 - \tan (120) \tan (45)}}$

Этап 2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как тангенс отрицательный во втором квадранте.

$\frac{1}{\frac{- \tan (60) + \tan (45)}{1 - \tan (120) \tan (45)}}$

Этап 2.3.2

Точное значение $\tan (60)$ : $\sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\frac{- \sqrt{3} + \tan (45)}{1 - \tan (120) \tan (45)}}$

Этап 2.3.3

Точное значение $\tan (45)$ : $1$ .

$\frac{1}{\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 - \tan (120) \tan (45)}}$

Этап 2.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

$\frac{1}{\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \tan (60) \tan (45)}}$

Этап 2.4.2

Точное значение $\tan (60)$ : $\sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} \tan (45)}}$

Этап 2.4.3

Умножим $- - \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + 1 \sqrt{3} \tan (45)}}$

Этап 2.4.3.2

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} \tan (45)}}$

Этап 2.4.4

Точное значение $\tan (45)$ : $1$ .

$\frac{1}{\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} \cdot 1}}$

Этап 2.4.5

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}}}$

Этап 2.5

Умножим $\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}}$ на $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}} \cdot \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}}$

Этап 2.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}}$ на $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{\frac{(- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}}$

Этап 2.6.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{1}{\frac{(- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Этап 2.6.3

Упростим.

$\frac{1}{\frac{(- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}}$

Этап 2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{\frac{(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}}$

Этап 2.7.2

Возведем $1 - \sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\frac{(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}}$

Этап 2.7.3

Возведем $1 - \sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\frac{(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}}$

Этап 2.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}}$

Этап 2.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{- 2}}$

Этап 2.8

Перепишем ${(1 - \sqrt{3})}^{2}$ в виде $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ .

$\frac{1}{\frac{(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}}$

Этап 2.9

Развернем $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\frac{1 (1 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}{- 2}}$

Этап 2.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}{- 2}}$

Этап 2.9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}}$

Этап 2.10

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}}$

Этап 2.10.1.2

Умножим $- \sqrt{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}}$

Этап 2.10.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}}$

Этап 2.10.1.4

Умножим $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}}$

Этап 2.10.1.4.2

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}}$

Этап 2.10.1.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}}$

Этап 2.10.1.4.4

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}}$

Этап 2.10.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{- 2}}$

Этап 2.10.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{- 2}}$

Этап 2.10.1.5

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 2}}$

Этап 2.10.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 2}}$

Этап 2.10.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{- 2}}$

Этап 2.10.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{- 2}}$

Этап 2.10.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3}{- 2}}$

Этап 2.10.1.5.5

Найдем экспоненту.

$\frac{1}{\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3}{- 2}}$

Этап 2.10.2

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{1}{\frac{4 - \sqrt{3} - \sqrt{3}}{- 2}}$

Этап 2.10.3

Вычтем $\sqrt{3}$ из $- \sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\frac{4 - 2 \sqrt{3}}{- 2}}$

Этап 2.11

Сократим общий множитель $4 - 2 \sqrt{3}$ и $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{1}{\frac{2 (2) - 2 \sqrt{3}}{- 2}}$

Этап 2.11.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\frac{2 (2) + 2 (- \sqrt{3})}{- 2}}$

Этап 2.11.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2) + 2 (- \sqrt{3})$ .

$\frac{1}{\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{- 2}}$

Этап 2.11.4

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{2 - \sqrt{3}}{- 1}$ .

$\frac{1}{- 1 \cdot (2 - \sqrt{3})}$

Этап 2.12

Перепишем $- 1 \cdot (2 - \sqrt{3})$ в виде $- (2 - \sqrt{3})$ .

$\frac{1}{- (2 - \sqrt{3})}$

Этап 2.13

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{- 1 \cdot 2 + \sqrt{3}}$

Этап 2.14

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{- 2 + \sqrt{3}}$

Этап 2.15

Умножим $- - \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{- 2 + 1 \sqrt{3}}$

Этап 2.15.2

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{- 2 + \sqrt{3}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{1}{- 2 + \sqrt{3}}$ на $\frac{- 2 - \sqrt{3}}{- 2 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{- 2 + \sqrt{3}} \cdot \frac{- 2 - \sqrt{3}}{- 2 - \sqrt{3}}$

Этап 3.2

Умножим $\frac{1}{- 2 + \sqrt{3}}$ на $\frac{- 2 - \sqrt{3}}{- 2 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{- 2 - \sqrt{3}}{(- 2 + \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3})}$

Этап 3.3

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{- 2 - \sqrt{3}}{4 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 2 - {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 3.4

Упростим.

$\frac{- 2 - \sqrt{3}}{1}$

Этап 3.5

Разделим $- 2 - \sqrt{3}$ на $1$ .

$- 2 - \sqrt{3}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- 2 - \sqrt{3}$

Десятичная форма:

$- 3.73205080 \dots$